Mavzu: Baza bo’yicha Limit tushunchasi

7-ta’rif. Agar

• bo‘lsa, son funksiyaning nuqtadagi chap limiti deyiladi va

• kabi belgilanadi.

• Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan, nuqta ning o‘ng limit nuqtasi bo‘lib, bo‘lsin.

• 8-ta’rif. Agar
• bo‘lsa, son funksiyaning nuqtadagi o‘ng limiti deyiladi va

• kabi belgilanadi.

• Masalan,
• funksiyaning 0 nuqtadagi o‘ng limiti 1, chap limiti -1 bo‘ladi.

• 5.Limitlar haqidagi teoremalar

• Funksiyaning limiti haqidagi asosiy teoremalar (yig'indi, ko'paytma, bo'linma

• haqidagi) ketma-ketlik limitlarining teoremalariga o'xshash funksiyaning limitini hisoblashni ham osonlashtiradi.

• 1-teorema. Funksiyalar yig'indisining (ayirmasining) limiti shu funksiyalar limitlarining yig'indisiga(ayirmasiga) teng:

• 2-teorema. Funksiyalar ko'paytmasining limiti shu funksiyalar limitlarining ko'paytmasiga teng:

• Natija. O'zgarmas ko'paytuvchini limit ishorasining oldiga chiqarish mumkin
• 3-teorema. Funksiyalar bo'linmasining limiti shu funksiyalar limitlarining bo'linmasiga teng, qachonki, bo'luvchi funksiyaning limiti noldan farqli bo'lganda:

• 4-teorema. Agar va funksiyalari uchun a nuqtaning biror oralig'ida tengsizliklar bajarilib, bo'lsa u holda bo'ladi.
• 1-misol. ni hisoblang.

• Yechish. Funksiyaning limitlari haqidagi teoremalardan foydalanib, quyidagilarni
• topamiz:

• 2-misol. ni hisoblang.

• Yechish. Maxrajning limitini topamiz: Shuning uchun 3-teoremadan foydalanamiz:

• 5. Limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari.

• Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar ham yaqinlashuvchi ketma-ketlik singari qator xossalarga ega.
• Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta ning limit nuqtasi bo‘lsin.
• 1-xossa. Agar da funksiya limitga ega bo‘lsa, u yagona bo‘ladi.
• Bu xossaning isboti limit ta’riflarining ekvivalentligi hamda ketma-ketlik limitining yagonaligidan kelib chiqadi.

• 2-xossa. Agar

• , ( - chekli son)

• bo‘lsa, u holda nuqtaning shunday atrofi topiladiki, bu atrofda funksiya chegaralangan bo‘ladi.
• Aytaylik,

• bo‘lsin. Funksiya limiti ta’rifga binoan

• da
• ya’ni bo‘ladi. Keyingi tengsizliklardan funksiyaning nuqtaning atrofida chegaralanganligi kelib chiqadi.
• 3-xossa. Agar

• bo‘lib, bo‘lsa, u holda nuqtaning shunday atrofi topiladiki, bu atrofda bo‘ladi.

• Shartga ko‘ra

• Funksiyaning limiti ta’rifiga ko‘ra uchun shunday son topiladiki, , , uchun

• bo‘ladi. Bu esa da bo‘lishini bildiradi.

• Faraz qilaylik, va funksiyalar to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.
• 4-xossa. Agar

• bo‘lib, da tengsizlik bajarilsa, u holda , ya’ni bo‘ladi.
• Aytaylik,

• bo‘lsin.
• Funksiya limitining Geyne ta’rifiga ko‘ra ga intiluvchi ixtiyoriy ketma-ketlik uchun

• da ,

• (1)

• bo‘ladi.

• Ravshanki, da

• (2)

• Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalaridan foydalanib, (1) va (2) munosabatlardan , ya’ni bodishini topamiz. ►
• 5-xossa. Faraz qilaylik,

• limitlar mavjud bo‘lsin. U holda

• a) da ;
• b)
• v)
• g) Agar bo‘lsa, ; bo‘ladi.

• Bu tasdiqlarning isboti sonlar ketma-ketliklari ustida arifmetik amallar bajarilishi haqidagi ma’lumotlardan kelib chiqadi.

•