Mavzu: Chiziqli algebra elementlari

Chiziqli tenglamalar sistemasini tekshirish.
Kroneker- Kapelli teoremasi

Yuqorida qaralgan noma’lumlari soni n ta, tenglamalari soni m ta

bo‘lgan (1) sistemani qaraylik. Uning koeffitsentlaridan tuzilgan (2)
matritsa va ozod hadlar qo‘shilishidan hosil bo‘lgan kengaytirilgan
matritsani qaraylik

 , 

Ravshanki rangA ≤ rangB.

Teorema. (Kroneker- Kapelli).YUqoridagi (1) chiziqli tenglamalar
sistemasi birgalikda bo‘lishi uchun bu sistema matritsasi va kengaytirilgan
matritsalar ranglari teng bo‘lishi zarur va etarli.

Isbot. Zarurligi. (1) sistema birgalikda va x₁=k₁, x₂₌k₂,..., x_n=k_nva echimga ega bo‘lsin, uholda quyidagi tengliklar to‘g‘ri bo‘ladi.

B matritsaning 1- ustunini k₁ ga, 2- ustunini k₂ ga va hokazo n ustunini k_n ga ko‘paytirib oxirgi ustunidan ayiramiz va (8) ni hisobga

olib V ga ekvivalent matritsa hosil qilamiz

Bu matritsaning oxirgi ustunini o‘chirish bilan A matritsaga kelamiz.

Buning elementar almashtirishligini e’tiborga olsak: rangA=rangB.

Yetarliligi. rangA=rangB bo‘lsin. U holda A matritsadagi chiziqli

bog‘liq bo‘lmagan maksimal sondagi ustunlar V matritsada ham chiziqli
bog‘liq bo‘lmaydi. Demak shunday k₁, k₂,..., k_nkoeffitsentlar topiladiki, V
matritsaning oxirgi ustuni bu koeffitsentlarning A matritsa ustunlari
bilan ko‘paytmasining yig‘indisiga teng. V matritsaning oxirgi ustuni (1)
sistemaning oxirgi ustuni ekanligini hisobga olsak, Bu koeffitsentlar (1)
sistemaning echimi bo‘ladi. Demak A va V matritsalar rangining tengligi bu
sistemaning birgalikda ekanligini keltirib chiqaradi. Teorema isbot
bo‘ldi.

Agar rangA=rangB=n bo‘lsa tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng

bo‘lib sistema yagona echimga ega bo‘ladi.

rangA=rangB=kbo‘lib k₁, k₂,..., k_knoma’lumlar erkli o‘zgaruvchi k_k+1, k_k+2,..., k_nlar orqali
ifodalanadi va sistema cheksiz ko‘p echimga ega bo‘ladi. Agar A va
kengaytirilgan V matritsalar ranglari teng bo‘lmasa, sistema echimga ega
bo‘lmaydi.

Agar (1) sistemada b₁ =b₂=... =b_n=0 bo‘lsa sistema bir jinsli deb

ataladi.

Bu sistema doimo birgalikda, chunki kengaytirilgan V matritsa A

matritsadan elementlari noldan iborat oxirgi ustun bilan farq qiladi va
rangA=rangB. Agar rangA=n bo‘lsa sistema yagona x₁ =0, x₂ =0,..., x_n=0 echimga ega. rangAYUqoridagi (9) sistema nolmas echimga ega bo‘lishi uchun bu sistemaning
asosiy determinanti nolga teng bo‘lishi kerak, bu tasdiq rangAkuchli bo‘ladi.