Mavzu: Determenantlar uchun Laplas teoremasi

Misol. Laplas yoyilmasidan foydalanib, quyidagi matrisa determinantni hisoblang.

Yechish. Matrisa determinantini hisoblash uchun uni birinchi ustun elementlari bo’yicha yoyamiz(bu ustonda nol elementi bo’lgani uchun hisoblashda bitta kam uchinchi tartibli determinant hisoblash qulaylik tug’diradi)

Endi uchinchi tartibli har bir determinantni yana birinchi ustun elementlari bo’yicha yoyamiz:



Bu usulni “determinantni tartibini pasaytirib hisoblash usuli” deb ham yuritiladi.
Ta’rif. n-tartibli kvadrat A=(a_ij) matritsa a_ij elementining M_ij -minori deb, A-matritsaning i-satri va j-ustunini o’chirishdan keyin hosil bo’lgan (n-1) tartibli matritsa determinantiga aytiladi.
Ta’rif. n-tartibli A=(a_ij) matritsa a_ij-elementining algebraik to’ldiruvchisi A_ij- deb A_ij=(-1)^i+j M_ij songa aytiladi.
Yig’indi i-satr bo’yicha yoyilma, yig’indi esa, j-ustun bo’yicha yoyilma deb ataladi.
Ta’rif. n-tartibli kvadrat A=(a_ij) matritsaning determinanti deb, quyidagi tenglik bilan aniqlangan songa aytiladi:
Teorema (Lаplаs tеоrеmаsi). Istаlgаn i vа j lаr uchun tеnglik o‘ri nli bo ‘ladi:


Misol. determinant hisoblansin.

I usul. Dastlab, to’rtinchi satr elementlari bo’yicha yoyib hisoblaymiz

II usul. Endi, determinantning xossalaridan foydalanib, uchinchi ustun elementlarini nolga aylantiramiz va shu ustun bo’yicha yoyib hisoblaymiz:

=

1 Mike Rosser. Basic Mathematics for Economists. - London and New York, Taylor & Francis Group, 2003 у