Mavzu: Qaytma va yuqori darajali tenglamalar va ularni yechish metodikasi

3-§. Tenglamalarni taqribiy yechish.
P(x)=a_nxⁿ+…+a₀ bo‗lsin, P(x)=0 (1) tenglamani taqribiy yechish deyilganda uning noma‘lum x* ildizi yotgan [a;b] oraliqni oldindan tayinlangan = dan oshmaydigan kattalikda (qisqacha: gacha aniqlikda) topish tushuniladi. [a;b] da yotgan ixtiyoriy c nuqta ildizning taqribiy qiymati sifatida olinishi mumkin: x* ± . P(x)ko‗phad grafigi abssissalar o‗qini x* nuqtada kesib o‗tishi tufayli unda P(x*) = 0, nuqtaning ikki tomonida esa ko‗phad qarama- qarshi ishoraga ega bo‗ladi. Bunga qaraganda agar
P (x) ko‗phad [a;b] oraliqning chekka nuqtalarida har xil ishoraga ega bo‗lsa, ya‘ni P (a)P (b) <0 (2) tengsizligi bajarilsa, shu oraliqda (1)tenglama ildizga ega.
Demak, hisoblashlarning 1- qadamida (2) shartdan foydalanib, ildiz yotgan
[a; b] oraliq topiladi. Keyingi qadamlarda biror usul qo‘llanilib, bu oraliq ketmaket kichraytiriladi. Agar biror k- qadamda _k= < aniqlikka erishilgan bo'lsa, [a_k;b_k] oralig‗idagi ixtiyoriy c_k son, masalan, c_k = (b_k+ a_k)/2 o‗rta qiymat ildiz uchun qabul qilinadi va hisoblashlar to‗xtatiladi. Tenglamalarni taqribiy yechishning ikkita usuli bilan tanishamiz:
1) kesmani teng ikkiga bo‘lish (dixotomiya) usuli qo‗llanilganda [a; b] oraliq c₁, nuqta bilan [a; c₁],[c₁;b] teng oraliqlarga ajratiladi(1 rasm). Ulardan (2) shart bajariladigani, demak, ildiz mavjud bo‗lgani olinadi. Uni [a₁;b₁]orqali belgilaymiz. Uning uzunligi Agar ₁ ≤ bo‗lsa, masala hal, aks holda [a₁;b₁] oraliq ikkiga bo‗linadi va hokazo;

1- rasm.
2)endi Jamshid ibn Ma’sud G ‘iyosiddin al-Koshiy (ko’pincha G‘iyosiddin alKoshiy nomi bilan mashhur) (Mirzo Ulug‗bek ilmiy maktabi namoyandalaridan biri, Ulug‗bekning ustozi, Samarqandda ijod etgan, 1430- yilda vafot etgan) ning taqribiy qiymatlarni ildizga ketma-ket yaqinlashtirishlar(iteratsiya)usulini keltiramiz. Al-Koshiy x³-kx+m = 0, k≠0 ko‗rinishdagi tenglamani yechish uchun uni teng kuchli

ko‗rinishga keltiradi. (qoldiqda r₁,), ya‘ni m=kq₁+r₁,bo‗lganidan, (3) tenglik
yoki (4)
ko‗rinishga keladi. 1- yaqinlashish uchun x₁=q₁ qabul qilinadi. (4) tenglikning o‗ng qismiga x=x₁, qo‗yiladi, (qoldiqda r₂) bo‗yicha r₁=kq₂+r₂-x₁³
topiladi. Natijada
(5)
Ikkinchi yaqinlashish: x₂=q₁+q₂ va hokazo. Amalda biz r qoldiqlarni hisoblab o‗tirmay, Al-Koshiy usulining ushbu nisbatan sodda modifikatsiyasidan (ko‗rinishi o‗zgartirilgan rekurrent formuladan) foydalanamiz:
, xn+1=xn+qn (6)
Bu formulalar bo‗yicha topilgan har qaysi x_n yaqinlashish xatosi (ya‘ni uning izlanayotgan ildizdan farqi) _пn-x_n-1=q_n bo‗ladi va q₁>q₂>...>q_n> … bo‗lganidan xato qiymati keyingi qadamlarda kamayib boradi.