Mavzuning dolzarbligi

3.1-lemma. Funksiya , bu funksiya egri chiziqda birinchi tur uzilishga ega,(1,1) nuqtadan tashqari,bu nuqtada ular tartibdagi maxsuslikga ega. Bu lemmaning isboti (3.45) dan darhol kelib chiqadi.
(3.43) integral tenglamani o’rganish. (3.43) tenglama shu bilan qiziqarliki,u va chiziqda kichik yadroga ega , bunda , , , .
Qulaylik uchun deb olamiz.
(3.43) tenglamani yechish uchun ketma-ket yaqinlashish usuli bilan foydalanamiz [35]. Funksional ketma –ketlikning …, … hadlarni topish uchun quyidagi rekurrent munosabatni tuzamiz
(3.47)
Nol yaqinlashish sifatida ni olamiz. Bu holda birinchi yaqinlashish, quyidagi ko’rinishga ega
(3.48)
Bundan osonlikcha quyidagi baholashni topamiz



=
,
где
Shunday qilib
(3.49)
Endi ikkinchi yaqinlashishni qo’llaymiz , (3.47) dan bo’lganida
(3.50)
(3.47) dan (3.48) ni ayirsak

Bundan , (3.49) ni inobatga olsak


(3.51)
Bu amalni davom ettirsak
(3.52)
Funksional qator
(3.53)
sonli qator bilan mojorlanadi.
(3.54)
Shunday qilib
(3.55)
shart bajarilganida tekis yaqinlashadi, va uning yig’indisi uzluksiz funksiyadir.
Aytib o’tish kerakki (3.43), bir jinsli integral tenglama notrivial yechimga ega. Haqiqatdan ham
(3.56)
Bir jinsli tenglamani qaraylik yoki

(3.58)

(3.57) ning o’ng tomonidagi birinchi yig’indida , almashtirish, ikkinchi yig'indiga esa almashtirish bajaramiz.
Bunday almashtirish yordamida (3.57) tenglamani quyidagi ko’rinishga olib kelamiz
(3.58)
(3.58) dan ko’rinib turibdiki, aniq tenglaganda (3.58) tenglamaning notrivial yechimidir.
Haqiqatdan ham

.
Bu holda (3.58) dan (3.59)
Shunday qilib,ihtiyoriy da (3.58) tenglik bajarilishi uchun
va tenglash mumkin.
Bundan esa, (3.59) yechilishi uchun (3.55) shart juda muhim ekan. nomalum funksiya topilganidan so’ng (3.21) tenglamani noma’lum funksiyaga nisbatan integral tenglama ekan


, (3.60)
Bunda

, (3.61)
.
(3.60) tenglamani o’rganish (3.43) tenglamani o'rganish bilan bir xildir.
3.1-teorema. G masala yetarlicha kichik va lar uchun (3.55) yechimga ega bo’ladi.