Mavzuning dolzarbligi

3.2-§. (Bitsadze-Samarskiy masalasi) masalasining qo’yilishi.
Ushbu tenglamani o’rganamiz
(3.62)
bu yerda va -o’zgarmas sonlar bo’lib, ular uchun , tengsizliklar o’rinli. soha kompleks tekisligining chekli bir bog’lamli sohasi bo’lib, u tekisligida joylashgan va uchlari nuqtalarda yotuvchi (3.62) tenglamaning normal chizig’i bilan, tekislikda (3.62) tenglamaning va xarakteristikalari bilan chegaralangan bo’lsin. Ushbu belgilashlarni kiritamiz , va orqali esa nuqtadan chiquvchi xarakteristikaning va xarakteristikalar bilan kesishish nuqtasini belgilaymiz. o’qining intervali.
masalasi. sohada quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi funktsiya topilsin:

1. 
   va bu sohada (3.1) tenglamani qanoatlantiradi;
   
2. 
   funktsiya sohada (3.1) tenglamaning sinfga tegishli bo’lgan umumlashgan yechimi;
   
3. 
   -intervalda ushbu ulanish shartlari bajariladi
   

(3.63)

va bu limitlar nuqtalarda dan kichik tartibda maxsuslikka ega bo’lishi mumkin, bu yerda ;
4. (3.64)
(3.65)
(3.66)
Bu yerda nuqtadan chiquvchi xarakteristikaning xarakteristika bilan kesishish nuqtasining affiksi. berilgan funktsiyalar bo’lib, ular uchun , , munosabatlar o’rinli.
(3.65) va (3.66) shartlar Frankl shartlari bo’lib, ular mos ravishda xarakteristikada va buzilish chizig’ida berilgan.
3.3-§. masalasi yechimining yagonaligi.
(3.66) tenglamaning shakli o’zgargan Koshi masalasi yechimini beruvchi Darbu formulasidan foydalanib ushbu qiymatlarni hosil qilamiz
(3.67)
(3.68)
bu yerdan
(3.69)
(3.70)
(3.69) va (3.70) tengliklardan (3.65) va (3.66) nolokal shartlarga asosan
(3.71)
munosabatga kelamiz, bu yerda
(3.72)
3.1-teorema. Agar va funktsiyalar uchun ushbu
(3.73)
tengsizlik o’rinli bo’lib bo’lsa u holda masalasi faqat trivial yechimga ega.
Isbot. Teskari tasdiqni faraz qilamiz, sohada bo’lsin. Xopf printsipiga ko’ra funktsiya o’zining eng katta musbat qiymatini va eng kichik manfiy qiymatini sohaning ichki nuqtalarida qabul qilmaydi. bo’lgani uchun bu qiymatlarga nuqtalarida ham erishilmaydi. Faraz qilaylik funktsiya o’zining eng katta musbat va eng kichik manfiy qiymatlarini nuqtalarda qabul qilsin, u holda (3.66) shartga mos bir jinsli shartga asosan bu ekstremum qiymatlar va nuqtalarda qabul qilinadi. funktsiyaning musbat maksimumini (manfiy minimumini) qabul qiluvchi nuqtada kasr tartibli va hosilalar qiymati qat’iy musbat (qat’iy manfiy) bo’lgani uchun va bu nuqtalarda lemmaga asosan

bo’lgani uchun (3.71) tenglikka mos, bir jinsli ushbu munosabat:
(3.74)
va nuqtalarda o’rinli emas, chunki bu nuqtalarda (3.74) tenglikning o’ng va chap tomonlari turli ishorali.
Shunday qilib, yechim o’zining eng katta musbat va eng kichik manfiy qiymatlarini nuqtada erishadi. Bundan esa sohada , ya’ni o’zgarmas ekanligi kelib chiqadi, lekin bo’lgani uchun bundan ekanligi kelib chiqadi.