Mavzuning dolzarbligi

3.1-teorema isbot bo’ldi.
3.4-§. masalasi yechimining mavjudligi.
sohada (3.62) tenglama uchun Dirixle va shakli o’zgargan masalarining yechimlaridan foydalanib o’qida mos ravishda
(3.75)
(3.76)
(3.77)
(3.78)
bu yerda

(3.75) munosabatda ni ga almashtirib va ushbu
, (3.79)
munosabatlarni hisobga olib, quyidagi tenglikni hosil qilamiz
(3.80)
bu yerda
(3.81)
(3.80) ga asosan (3.81) tenglikdan ushbu
(3.82)
munosabatga kelamiz, bu yerda
(3.83)


3.5-§. masalasini bo’lgan holda o’rganish.
masalasini (3.84) shart bajarilmagan holda o’rganamiz, ya’ni
. (3.85)
Bu holda (3.75) munosabat ushbu ko’rinishda bo’ladi.
(3.86)
Dastlab bu holda ham masalasi yechimi yagona ekanligini isbotlaymiz. (3.86) tenglikda bo’lsin (3.86) ni ushbu ko’rinishda yozib olamiz

yoki
. (3.87)
(3.87) tenglikka operatorini qo’llab, va

formulalarni hisobga olib, ushbu singulyar integral tenglamani hosil qilamiz
(3.88)
bu yerda
. (3.88) integral tenglama yechimini (-1,1) intervalda Gyolder sinfiga tegishli, nuqtalarda esa uzluksiz bo’lgan funktsiyalar sinfida izlaymiz ya’ni sinfda. Bu sinfda (3.88) tenglama indeksini hisoblaymiz. (3.88) singulyar integral tenglamada .
Ushbu funksiyani tuzamiz

bevosita hisoblash yordamida ko’rsatish mumkinki ya’ni ya’ni . Endi va butun sonlarni shunday tanlaymizki tengsizliklar o’rinli bulsin, bunda
Demak (3.88) tenglama indeksi
.
Shunday qilib (3.88) tenglama yechimining sinfdagi indeksi -1 ga teng, kanonik funksiya esa ushbu ko’rinishda bo’ladi
.
Indeks demak singulyar integral tenglamalar uchun Nyoter nazariyasi, Fredgolm integral tenglamalar nazariyasi bilan ustma-ust tushmaydi. (bu nazariyalar faqat bo’lgandagina ustma-ust tushadi).
bo’lganda (3.88) tenglamasining yagona yechimi. Ushbu [6]
(3.89)
zaruriy va yetarli shartlar bajarilgandagina o’rinli bo’ladi.
Bizning tenglamamiz uchun demak va (3.89) shart ushbu ko’rinishni oladi.

bu yerdan ekanligi kelib chiqadi.
Shunday qilib, biz
(3.90)
tenglamaga kelamiz. Bu tenglama uzluksiz funksiyalar sinfida faqat trivial yechimga ega bo’ladi, demak . Shunday qilib, biz masalasi yechimining yagonaligini (3.77) shart buzilgan holda isbotladik.
Endi (3.77) shart buzilgan holda masalasi yechimini mavjudligini ko’rsatamiz.
(3.85) shartga asosan

bu yerda va . Bu holda (3.75) tenglamani ushbu ko’rinishda yozib olish mumkin

yoki
(3.91)
bu yerda
(3.92)
(3.91) tenglikka operatorni qo’llab ushbu integral tenglamaga kelamiz
(3.93)
bu yerda
(3.94)
Yuqorida (3.93) tenglamaning sinfdagi indeksi ekanligini ko’rsatgan edik. Demak (3.93) tenglamaning yagona yechimi
(3.95)
zaruriy va yetarli shart bajarilgandagina mavjud bo’ladi.
Bu yerda
bo’lgani uchun . (3.94) ga asosan (3.95) tenglikni ushbu ko’rinishda yozib olamiz
(3.96)
bu yerda integrallash tartibini o’zgartirib va xosmas intergrallarni hisoblab uchun quyidagi qiymatni hosil qilamiz

Bu yerda Gaussning gipergeometrik funksiyasi.
Shunday qilib, (3.96) shart bajarilganda (3.93) tenglamaning yagona yechimi mavjud.
(3.93) tenglamani Karleman usulida yechamiz. Shu maqsadda
(3.97)
funksiyani kiritamiz.
Soxotskiy-Plemel formulalariga asosan
, (3.98)
(3.99)
Bu yerda

(3.98) va (3.99) formulalarga asosan (3.93) tenglama ushbu ko’rinishni oladi
(3.100)
bu yerda
(3.101)
(3.102)
Shunday qilib, biz golomorf funksiyalar uchun Riman masalasiga keldik: yuqori va quyi yarim tekisliklarda golomorf, cheksiz uzoqlashgan nuqtada , haqiqiy o’qda esa (3.100) shartni qanoatlantiruvchi funksiya topilsin.
Ushbu funksiyani o’rganamiz


(3.103)
(3.103) tenglikdan ushbu chegaraviy qiymatlarni hosil qilamiz
. (3.104)
Endi kanonik funktsiyani tuzamiz

Shunday qilib,
(3.105)
(3.105) chegaraviy qiymatlarga asosan (3.100) tenglamani ushbu ko’rinishda yozib olamiz
. (3.106)
(3.106) tenglamaning xususiy yechimlaridan, biri ushbu ko’rinishda bo’ladi
. (3.107)
(3.107) ga asosan ni topamiz
(3.108)
(3.108) formula (3.88) singulyar integral tenglama yechimini beradi.
Endi ning ifodasini (3.94) formuladan (3.108) yechimga qo’yib ushbu ifodaga ega bo’lamiz
(3.109)
Ushbu tenglikka asosan

(3.109) ifoda ushbu ko’rinishda bo’ladi
(3.110)
(3.110) formulada tenglikni hisobga olib uni ushbu ko’rinishda yozamiz
(3.111)
bu yerda ushbu

ayniyatni e’tiborga olib, (3.111) yechimni quyidagi ko’rinishda yozib olamiz
(3.112)

(3.112) tenglikning oxirgi integralida integrallash tartibini o’zgartirib ushbu tenglikni hosil qilamiz

Endi ichki integralda almashtirish bajarib va gipergeometrik funksiyaning integral ifodasi hamda uning xossasidan foydalanib ushbu qiymatni hosil qilamiz
(3.113)
(3.113) tenglikka asosan (3.112) yechimni ushbu ko’rinishda yozib olamiz
(3.114)
(3.114) yechim uzluksiz bo’lishi uchun
(3.115)
tenglikning bajarilishi zarur. Bu holda (3.88) singulyar integral tenglamaning uzluksiz yechimi ushbu ko’rinishda bo’ladi
(3.116)
Shunday qilib masalasi ushbu Dirixle masalasiga olib kelindi: sohada (3.62) tenglamaning ushbu
(3.117)
shartlarni qanoatlantiruvchi regulyar yechimi funksiya topilsin. Bu yerda (3.116) formula bilan ifodalanadi va shartlari bajariladi. Faraz qilaylik ushbu shartlarni qanoatlantirsin:
1.
2. (3.118)
-ixtiyoriy yetarli kichik son.
(3.116) formulada bo’laklab integrallash amalini bajarib
(3.119)
tenglikni hosil qilamiz.
Ushbu

tenglikni hisobga olib (3.119) munosabatni ushbu ko’rinishda yozib olamiz
(3.120)
Bu yerdan (3.118) ni hisobga olib va hosila (-1,1) interval chegaralarida dan katta bo’lmagan tartibda cheksizlikka aylanishini ko’rish qiyin emas, shu bilan birga
Endi ni topamiz. Buning uchun Dirixle masalasini yechamiz. Bu yechimdan u bo’yicha hosila olib ushbu tenglikka kelamiz

(3.121)
Ushbu tenglikni to’g’riligini bevosita tekshirib ko’rish mumkin

Endi (3.121) tenglikning o’ng tomonidagi birinchi integralda (3.122) tenglikni e’tiborga olib, bo’laklab integrallash operatsiyasini bajaramiz va hosil bo’lgan yangi tenglikni ga ko’paytirib, u nolga intilganda limitga o’tib ni topamiz
(3.123)
bu yerda

masalasida funksiyaning normal chiziqdagi qiymati ni ushbu ko’rinishda ifodalash mumkin deb faraz qilamiz

bu yerda . U holda normal chiziqning tenglamasidan foydalanib ni quyidagicha tasvirlaymiz

funksiya ifodasidan ko’rinib turibdiki va intervalda ixtiyoriy tartibli hosilasiga ega. (3.123) formuladan ko’rinib turibdiki 3.2-teoremaga asosan funksiyamiz (-1,1) intervalda ko’rsatkich bilan Gyolder shartini qanoatlantiradi.
va ma’lum bo’lgandan keyin sohada yechimni shakli o’zgargan Koshi masalasi yechimi sifatida tiklaymiz. Bu yechim sinfga tegishli.