Mexanika-Matematika fakulteti

2.2-§. Qamrovchi to’plamlar ketma-ketligi va Xosmas karrali

integralning ta’rifi.


2.2.1-Ta’rif[6]. (To’plamni qamrovchi to’plamlar ketma-ketligi tushunchasi.)
Agar chegaralangan ochiq bog’langan va Jardon bo’yicha o’lchovli to’plamlar ketma-ketligi quydagi shartlarni qanoatlantirsa[7]:
(monotonlik sharti)
u holda to’plamlar ketma-ketligi to’plamni qamraydi (qamrovchi) deyladi.
Karrali integral tushunchasini chegaralanmagan to’plam va integral ostidagi funksiya chegaralanmagan hol uchun umumlashtiramiz. dagi ochiq to’plam
ning yopig’i, ya’ni deb hisoblaymiz.


2.2.1-Lemma. ning qamrovchisi, dagi bo’shmas kompakt bo’lsin, u holda shunday mavjudki, bo’ladi[15].
Isbot.Teskaridan faraz qilamiz. kompakt, va bo’lsin. Bu uchun to’plamga tegishli
bo’lmagan nuqta topilishini anglatadi.Shartga ko’ra dagi yopiq, chegaralangan to’plam, shuning uchun hosil bo’lgan ketma-ketlikdan biror nuqtaga yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish
mumkin. , ning qoplamasi bo’lgani uchun nuqta
biror to’plamga tegishli. Shuning uchun shunday nuqtaning ga kiruvchi atrofiva N nomer topiladiki, , bo’ladi.
Bundan kelib chiqadi, bu esa nuqtalarning tanlanishiga ziddir va tasdiqni isbotlaydi.
2.2.2-Ta’rif. Agar funksiya to’plamda saqlanuvchi ixtiyoriy (Jordan bo’yicha) o’lchovi kompaktda Riman bo’yicha integrallanuvchi bo’lsa,
u to’plamdalokalintegrallanuvchi deyiladi[5].
da lokal integrallanuvchi funksiyalar sinfini deb belgilaymiz. Bir o’zgaruvchili funksiya holidagidek, funksiyaning da integrallanuvchi emasligiga yoki to’plamning da Jordan bo’yicha o’lchovli emasligi,
yoki funksiyaning to’plamda chegaralanmaganligi sabab bo’ladi.Bu ikkala maxsuslik bir vaqtda ro’y berishi ham mumkin.
to’plamning ochiq, chegaralangan Jordan to’plamlari bilan qoplamasi va funksiya da Riman bo’yicha integrallanuvchi, ya’ni , bo’lsin.2.2.1-lemma va integrallanuvchi funksiyalarning xossalariga ko’ra, dagiixtiyoriyJordan kompakti uchun , ya’ni Teskarisi ham o’rinli, agar ning qamrovchisi va bo’lsa , u holda , .
2.2.3-Ta’rif. va ni monoton qamrovchi, Jordan bo’yicha o’lchovli to’plamlardan iborat ixtiyoriy ketma-ketlik uchun ketma-ketlikning tanlanishiga bog’liq bo’lmagan
chekli limit mavjud bo’lsin. U holda bu limit funksiyaning to’plam bo’yicha yaqinlashuvchi xosmas karrali integrali deyiladi va quyidagi simvollardan biri orqali belgilanadi.

funksiya esa da xosmasma’noda integrallanuvchi deyiladi[4,16].
Haqiqatdan ham, va ning Jordan bo’yicha o’lchovliochiq to’plamlar bilan qamrovchilari va


chekli limitlar mavjud bo’lsin. U holda to’plamning ochiq Jordan to’plamlari
bilan shunday qamrovchisi topilib, uning uchun (2.2.1) limit mavjudemasligini ko’rsatamiz. deb ataymiz, ixtiyoriy natural son, ning qamrovchisi bo’lgani uchun shunday topiladiki, (2.2.1-limmaga ko’ra) bo’ladi. = bo’lsin. Ammo ningqamrovchisi, shuning uchun shunday nomertopiladiki, bo’ladi. deb olamiz. Bu
jarayonni davomettirib quyidagi xossalarga ega bo’lgan ketma-ketlikni olamiz.

1) ning Jordan bo’yicha o’lchovli ochiq to’plamlar bilan monoton qamrovchisi;

2) ketma-ketlikning qismiy ketma-ketligi, qismiy ketma-ketligi esa ketma-ketlikning qismiy ketma-ketligi.

Bu yerdan yaqinlashuvchi ketma-ketlik qismiy ketma-ketliklarining xossasiga asosan (2.2.1) limit mavjud emas degan xulosaga kelamiz, bu
esa to’plamning Jordan bo’yicha o’lchovli ochiq to’plamlar bilan ixtiyoriy qamrovchisi uchun limitning mavjudligi haqidagi farazga ziddir.

1. 
   eslatma.Ko’pincha yaqinlashuvchi xosmas karrali integralning ta’rifini kiritishda ochiq to’plamning Jordan kompaktlari yopiq yoki ochiq bo’lishi shart bo’lmagan Jordan to’plamlari bilan qamrovchisi qaraladi, bunda mos ravishda
   

deb olinadi, chunki bu holda

2. 
   eslatma.Agar xosmas karrali integral yoki Jordan to’plami bo’yicha yoki har qanday Jordan to’plami bilan kesishmasi Jordan to’plami bo’lgan, chegaralanmagan hamda ochiqmas, lekin Jordan to’plamlari bilan
   

qamrovchigaega bo’lgan to’plam bo’yicha qaralsa, u holda shartini qanoatlantiruvchi ixtiyoriy to’plam uchun

deb olinadi.