Mexanika-Matematika fakulteti

2.3-§.Karrali xosmas integrallar haqida asosiy tushunchalar.

Bir karrali integrallar uchun biz ikki xil xosmas integrallar tushunchalarini aniqlagan edik. Shunga o’xshash karrali integrallar uchun ham ikki xil xosmas integral tushunchalarni kiritish mumkin[10]:

1. 
   Chegaralangan funksiyaning chegaralanmagan soha bo’yicha 1-tur karrali xosmas integrallar.
   
2. 
   Jardon bo’yicha o’lcho’vli chekli dona maxsus nuqtasi mavjud bo’lgan chegaralanmagan funksiyadan olingan 2-tur karrali xosmas integrallar.
   

2.3.1-Ta’rif. funksiya berilgan bo’lsin, agar nuqtaning atrofida


funksiya chegaralanmagan bo’lsa, u holda


nuqta funksiya uchun maxsus nuqta deyladi. nuqta ga tegishli bo’lishi ham, bo’lmasligi ham mumkin[1,3,5].
2.3.2-Ta’rif. (1-tur karrali xosmos integiral tushunchasi . )Faraz qilaylik, funksiya chegaralanmagan sohada chegaralangan bo’lsin, sohani qamrovchi ixtiyoriy to’plamlar ketma- ketligi bo’yicha olingan quydagi integrallar ketma-ketligining
funksiyadan chegaralanmagan soha bo’yicha olingan 1- tur karrali xosmos integral deyiladi va quydagicha belgilanadi[6].

Agar I limit mavjud bo’lib, chekli bo’lsa u holda (2.3.1) 1-tur karrali xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi.

Agar I limit cheksiz yoki majud bo’lmasa, u holda (2.3.1) 1-tur karrali xosmos integral uzoqlashuvchi deyiladi.
2.3.3-Ta’rif.(2-tur karrali xosmas intigrall tushunchasi).Faraz qilaylik, Jordan bo’yicha o’lchovli chegaralangan soxada chegaralanmagan
funksiyaning maxsus nuqtalar to’plami ( orqali ning yopig’i belgilangan) bo’lsin.
sohani qamrovchi va ixtiyoriy shartni qanoatlantiruvchi to’plamlar ketma–ketligi bo’yicha olingan quyidagi


chegaralanmagan funksiyadan chegaralangan soha bo’yicha olingan 2-tur karrali xosmas integrall deyiladi va xuddi 1-turi kabi belgilanadi[6].
Agar I limit mavjud bo’lib, chekli bo’lsa, integrall yaqinlashuvchi deyiladi.
Agar I limit cheksiz yoki mavjud bo’lmasa, 2-tur karrali xosmas integrall uzoqlashuvchi deyiladi.
1-izoh.2-tur karrali xosmas integralning mavjud bo’lishi uchun, bo’lishi zarurdir.

Misol.

Yechish: - sohani
1). Markazi (koordinatalar boshi) o’yib olingan r radusli ochiq doira qamrovchi to’plamlar ketma-ketligi sifatida quydagi halqalar ketma-ketligini taminlaymiz.

haqiqatdan ham va

2) Qutb koordinatalar sistemasiga o’tib ta’rif bo’yicha hisoblaymiz:

dxdy
dxdy
2 r
d

n
 _x2
 y ² 
 lim_{ x2}
 y ² 
 lim _ d_{ 2} 

n
D D_{n 43}
r r
₀ r
n
^r d

 lim 2_^12d 2_^12d 2_

21

n _{r 0 0 }
n

bu bir karrali ikkinchi tur xosmas integral da yaqinlashuvchi, da uzoqlashuvchi edi.
Demak, da uzoqlashuvchi, da yaqinlashuvchi.