Mexanika-Matematika fakulteti

2.2.1-Misol[7].

integralni yaqinlashishga tekshiring.

Echish. to’plamning ikkita va qamrovchilarini ko’ramiz.




y

Dm2
	m 2m

1 _Dm1
0 m x

-1

1- chizma
funksiya ixtiyoriy uchun va ga Riman bo’yicha integrallanuvchi.
Lekin

bu limitlarning har xilligi integral uzoqlashishini bildiradi, chunki 2.2.3-ta’rifga ko’ra limit qamrovchi ketma-ketlikning tanlanishiga bog’liq bo’lmasligi kerak.

Yaqinlashuvchi xosmas karrali integralning yana bitta ta’rifini keltiramiz.


2.2.4-Ta’rif. dagi ochiq qisim to’plam va bo’lsin. Agar shunday son mavjud bo’lib uchun shunday kompakttopilsinki, bo’lganixtiyoriy Jordan
ochiq to’plam uchun




tengsizlik bajarilsa, funksiya to’plam bo’yicha xosmas ma’noda integrallanuvchi deyiladi[5,6].


son funksiya to’plam bo’yicha yaqinlashuvchi xosmas karrali integralning qiymati deyiladi.
2.2.1-Teorema.2.2.3 va 2.2.4- ta’riflar teng kuchli.


Isbot.1) funksiya da 2.2.4-ta’rif bo’yicha xosmas manoda
integrallanuvchi bo’lsin. Uning da 2.2.3-tarif bo’yicha ham integrallanuvchi va xosmas karrali integrallarning qiymatlari ustma-ust tushishini ko’rsatamiz[6].
Ixtiyoriy va to’plamni monoton qamrovchi Jordan bo’yicha o’lchovli ochiq to’plamlar ketma-ketligini fiksirlaymiz. 2.2.4-ta’rifga ko’ra shunday son mavjudki, uning uchun berilgan bo’yicha shunday kompakt
topilib, uchun (2.2.3) bajariladi.


2.2.1-lemmaga va to’plam qamrovchisining xosalariga asosan shunday natural son topiladiki, , va shuning uchun


bo’ladi. Bundan sonli ketma ketlik yaqinlashuvchi va ekanligiga kelamiz. Shuning uchun xosmas integral 2.2.4-ta'rif ma'nosida yaqinlashuvchiva uning qiymati ga teng.

2. 
   Endi to’plamning ixtiyoriy ochiq Jordan to’plamlari bilan
   

qamrovchisi uchun ga teng (2.2.1) chekli limit mavjud bo’lsin.
2.2.4-ta’rif ma’nosida yaqinlashuvchi (2.2.2) xosmas karrali integralning qiymati bo’lishini isbotlaymiz. Teskaridan faraz qilamiz. U holda shunday
mavjudki, ixtiyoriy kompakt uchun shunday ochiq Jordan to’plami topilib,


va


bo’ladi. to’plamning ochiq Jordan to’plamlari bilan biror

qamrovchisini fiksirlaymiz. kompakt bo’yicha (2.2.4) tengsizlik o’rinli bo’ladigan ochiq Jordan to’plamini topamiz kompakt bo’yicha ochiq Jordan to’plamini topamiz, kompakt bo’yicha esa shunday ochiq Jordan to’plamlarini

topamizki munasabatlar o’rinli bo’ladi va (2.2.4) bajariladi. Bu
jarayonni davom ettirib, to’plamning qamrovchisi bo’lgan ochiq Jordan to’plamlari ketma-ketligi olamiz, chunki


^a) k k+1,
b)
va demak, va shuning uchun




_kto’plamlarning tanlanishiga ko’ra son ketma-ketlikning limiti bo’lmaydi, bu esa shartiga ziddir. Demak, xosmas karrali integral 2.2.4-ta’rif ma’nosida yaqinlashadi va uning qiymati ga teng.