Mexanika-Matematika fakulteti

2.5-§.Bir karrali xosmas integralning odatdagi ta’rifi bilan qamrovchi ketma- ketliklar orqali ta’rifini taqqoslash.

Biz birinchi tur xosmas integralni qamrovchi ketma-ketliklar orqali aniqlaymiz.


,
, , … … ,

1)

2)
3)
ketma – ketlik ni qamraydi.


ni qamrovchi ketma-ketlik tuzamiz
.
{ } ketma-ketlik ni ichkaridan qamrovchi. esa tashqaridan qamrovchi.




Oddiy Riman integralini qamrovchi ketma-ketliklar orqali aniqlash 2.5.1-Ta’rif. to’plamni qamrovchi ketma-ketkik berilgan bo’lsin,
,funksiya to’plamda integrallanuvchi
funksiya bo’sin u holda,

to’plamning ixtiyoriy bunday qamrovchilarining tanlanishiga bog’liq bo’lmasa bu miqdor funksiyadan to’plam bo’yicha olingan xosmas integral

deyiladi[6].


1-Eslatma. Agar -o’lchovli to’plam va bo’lsa u holda funksiyadan to’plam bo’yicha 2.5.1 – ta’rif ma’nosida olingan integral mavjud
va funksiyadan to’plam bo’yicha olingan xos integral bilan ustma ust tushadi.
2.5.1-Misol.Odatdagi ta’rif bo’yicha yaqinlashuvchi, qamrovchi ketma-ketliklarga asoslangan ta’rif bo’yicha uzoqlashuvchi bo’lgan funksiyaga misol.


Odatdagi ta’rif bo’yicha yaqinlashuvchi bo’ladi.
Riman teoremasiga ko’ra uning hadlarining o’rinlarini almashtirib yig’indisi
ga teng bo’lgan qator tuzish mumkin. Hosil bo’lgan yangi qatorning qismiy yig’indilarini funksiyadan


ni qamrovchi ketma-ketlik bo’yicha olingan integral deb qarash mumkin. 2.5.1-Ta’rif bo’yicha

mavjudemas.

Demak odatdagixosmas daintegralta’rifima’nosidayaqin lashuvchibo’lib, qamrovchiketma-
ketliklargaasoslanganta’rifbo’yichauzaqlashuvchibo’larekan.
Amaliyotda hamma vaqt quyidagicha aniqlanadigan maxsus qamrovchi ketma-ketlikdan foydalaniladi: Farazqilaylik sohada aniqlangan funksiya qandaydir to’plam atrofida chegaralamnagan bo’lsin. U holda biz to’plamdan ning – atrofida yotuvchi nuqtalarni chiqarib tashlab to’plamni xosil qilamiz. da bu sohalar ni qamrovchi bo’ladi.
Agar soha chegaralanmagan bo’lsa , u holda uning qamrovchisi sifatida D ning cheksiz atrofiga qamrovchisini olamiz.
Aynan shunday maxsus qamrovchilardan biz da xosmas integral ta’rifinianiqlashda foydalanganmiz.

2. 
   Eslatma. Agar bo’lsa u holda limit to’plamning qamrovchisi uchin mavjud va ga teng.
   

bo’lgandagi karrali xosmas va bir o’lchamli xosmas integrallar ta’riflarini taqqoslab, quyidagilarni aniqlash mumkin:

1. 
   Bir o’lchamli holda to’plam sifatida ham, ni qamrovchi ketma – ketliklar sifatida ham faqat oraliqlar olingan, chunki sonlar o’qida faqat chegaralangan oraliqlargina chegaralangan bog’lamli to’plamlar bo’ladi, shu sababli Jordan to’plamlari sifatida ular qaraladi.
   
2. 
   Qamrovchi ketma-ketliklar sinfini yanada toraytirish natijasida, bir o’lchamli holda, xosmas ma’noda integralanuvchi funksiyalar sinfini yanada kengaytirish mumkin bo’ladi, xususan, shartli yaqinlashuvchi xosmas integrallar sinfi paydo bo’ladi.
   

Ko’p o’lchamli holda esa quyidagi tasdiq o’rinli bo’ladi.