Mexanika-Matematika fakulteti

3.2.2-Teorema.[19] Agar

xosmas karrali integral yaqinlashsa, u absolyut yaqinlashuvchi ham bo’ladi.

Isbot. Teskaridan faraz qilamiz, u holda 3.1.2-teoremaga ko’ra

integrallar ketma-ketligi, monoton chegaralanmagan va demak musbat cheksiz katta ketma-ketlik bo’ladi, bu yerda to'plamning o’lchovli ochiq to’plamlar bilan ixtiyoriy qoplamasi. Shunday ketma-ketlikni takidlaymizki.

bo’lsin. Bunday ketma-ketlikni tanlash uchun to’plamning ochiq Jordan to’plamlari bilan ixtiyoriy qamrovchisini olib, uni (3.2.2) shart bajarilmaydigan to’plamlarini tashlab yuborish orqali ”siyraklashtirish’’mumkinligini ta’kidlaymiz. orqali to’plamni belgilaymiz. Karrali integralning xossalariga ko’ra da:


((3.3.1)ga qarang) bo’lgani uchun


bo’ladi.Har bir fiksirlangan da oxirgi tenglikning o’ng tamonidagi ikkita integraldan biri ikkinchisidan oshmaydi. Masalan,

bo’lsin. U holda

ekanligiga e’tibor qaratamiz. ni saqlovchi parallelepiped bo’lsin. U holda dagi o’lchovli to’plamda integrallanuvchi funksiyaning ta’rifiga ko’ra , bu erda

Darbu kriteyrisigako’ra

bu erda funksiya va parallelepipedningbo’linishi bo’yicha tuzilgan

quyi Darbu yig’ndisi, bo’linishining diametri. Bundan ning manfiymasligiga ko’ra shundaybo’linish mavjudki,

(3.2.4)
orqalibo’linishining bo’ladigan yacheykalari birlashmasini belgilaymiz. Bu yacheykalarda . Quyi Darbu yig’indisi s da nolga teng qo’shiluvchi tushirib qoldiramiz (unga ni xosil qiluvchi yacheykalarga mos qo’shiluvchilar qoladi). Karrali integralning xossalari, (3.2.3) va (3.2.4) tengsizliklarni hisobga olib,

ga kelamiz. Bu tengsizlikni

tengsizlik bilan qo’shib,

tengsizlikka ega bo’lamiz.

, deb olamiz. U holda oxirgi tengsizlik

ko’rinishni oladi.

= \ bo’lgani uchun ketma-ketlik to’plamning ochiq Jordan to’plamlari bilan qoplamasidan iborat. Bu ketma-ketlik uchun (3.2.5)
tengsizlik o’rinli, shuning uchun mos (2.2.1) limit cheksizdir, bu esa ,

ketma-ketlikning va

integralning uzoqlashishini bildiradi, lekin shartga ko’ra bu integral yaqinlashadi. Olingan qarama-qarshilik teoremani isbotlaydi.

3.2.1 va 3.2.2- teoremalardan quyidagi natijaga ega bo’lamiz.


Natija. Xosmas karrali intergralning yaqinlashishi va absolyut yaqinlashishi tushunchalari ustma-ust tushadi, ya’ni
xosmas karrali integrallar bir vaqda yaqinlashadi va uzoqlashadi.


Bu xossaning tabiyatini tushintirish uchun yana da xosmas integral yaqinlashishining 2.2.4-ta’rifga murojat qilamiz. Bu ta’rif limit tiliga o’tganda
quyidagini anglatadi: da lokal integrallanuvchi funksiya uchun

chekli limit mavjud bo’lsa,

xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi. Xususan, agar bo’lsa, nuqtada funksiya limiti haqidagi Geyne teoremasini qo’llab, ko’rsatilgan xosmas integral ixtiyoriy ketma-ketlik uchun


chekli limit mavjud bo’lganda yaqinlashishiga ega bo’lamiz. ketma-ketlikni o’suvchi deb hisoblash mumkinligini ta’kidlaymiz va uning uchun bir o’lchamli
holda ning qamrovchisi , kesmalar yoki intervallar bilan amalga oshiriladi.

Yaqinlashuvchi boshqacha	xosmas	karrali	integralning bo’lar	2.2.2-ta’rifi	holda edi:
to’plamining.				ochiq	Jordan

shartlarni qanoatlantiruvchi ketma-ketligi bo’lsin. Agar ixtiyoriy shunaqa ketma-ketlik uchun
chekli limit mavjud bo’lsa,

xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi ya’ni

da xosmas integral yaqinlashishining (3.2.6) va (3.2.7) ta’riflari har xilligini ko’rsatamiz, buning uchun quyidagi masalani qaraymiz.
3.2.1-Misol[19]. Barcha lar uchun

bo’lsin.

Yechish 1) Ravshanki, funksiya da lokal integrallanuvchi, yagona maxsus nuqtaga ega.



funksiyaning + nuqtaning atrofida o’zini qanday tutishini o’rganamiz. Aniq integralning xossasigako’ra


Har doim deb hisoblash mumkin.Agar , ) bo’sa, u holda


Agar , bo’lsa, u holda funksiyaning aniqlanishiga ko’ra

Shunday qilib

Shuning uchun

(3.2.6) ta’tifga ko’ra

xosmas integral yaqinlashadi va nolga teng.

2) nurning ochiq da o’lcovli to’plamlar bilan shunday qamrovchisini ko’ramizki,


bo’lsin.

garmonik qator uzoqlashuvchi bo’lgani uchun, Koshi kriteriysiga ko’ra butunsonlarning shunday o’suvchi ketma-ketligi mavjudki, va

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ deb olamiz. to’plamlar ochiq, o’lchovli, bunda


va ketma-ketlik ning qamrovchisi, nihoyat, barcha lar uchun

bo’ladi.Oxirgi tengsizlik ning aniqlanishidan kelib chiqadi. U holda

va (3.2.7) ta’rifga ko’ra

integral uzoqlashadi.

Keltirilgan misolda nurning qamrovchisini tashkil etuvchi to’plamlar bog’lamli emas, shuning uchun quyidagicha fikr tug’ilishi mumkin:
agar to’plamning qamrovchisi tushinchasini kiritishda to’plamlarning ochiq bog’lamli to’plamlar bo’lishi talab qilinsa, balki shunda xosmas karrali integralning absolyut va shartli yaqinlashishining ustma-ust tushishi yo’qalar? Bu fikr noto’g’ri. Buni ko’rsatish uchun 3.2.2-teoremaning isbotiga qaraymiz. ketma-ketlik 2.2.1-ta’rifning 1), 2) shartlarini
qanoatlantiradi, lekin to’plamlar balki bog’lamli bo’lmasligi mumkin (chunki
to’plam ga qandaydir parrallelepipedlar,
ya’ni bo’lgan \ bo’linishi yacheykalarining birlashmasidan iborat to’plamning tutashtirish bilan hosil qilingan ).


Har bir yacheykani soha bilan da yotuvchi o’lchamli, o’lchovli bog’lamli soha orqali shunday tutashtiramizki, hosil bo’lgan to’plam bog’lamli bo’lsin. Bundan tashqari, sohalarga yana bitta shart qo’yamiz:


deb hisoblaymiz. Bu funksiya to’plamda integrallanuvchi va demak chegaralangan bo’lganligi uchun mumkin. Bog’lamli, o’lchovli ochiq to’plamlarning ketma-ketligi ning qamrovchisi bo’ladi va barcha
lar uchun

tengsizlik o’rinli shuning uchun :

ketma-ketlik uzoqlashadi, demak

xosmas karrali integral ham uzoqlashadi. Keltirilgan fikrlarda fazoning o’lchami 2 dan kichik emasligi muhim rol o’ynaydi ( da to’plamni qurish mumkin emas).
Xosmas karrali integrallar uchun yaqinlashish va absaliyut yaqinlashish tushinchalarining ustma-ust tushishidan ishora almashinuvchi funksiyalarning xosmas integrallarining yaqinlashishini o’rganishda foydalaniladi.