Mexanika-Matematika fakulteti

3.2.2-Misol[11].

xoasmas integralning uzoqlashishini isbotlang.

Yechish.Yuqoridagi natijaga ko’ra (3.2.8) integral

integral bilan bir vaqtda yaqinlashadi yoki uzoqlashadi.

to’plamlar ochiq o’lchavli to’plamlar bo’lib, ni monoton qamraydi. Qutb koordinatalar sistemasiga o’tib, quyidagi integralni hisoblaymiz:

Ma’lumki,

xosmas integral uzoqlashadi. Integral ostidagi funksiya manfiymas bo’lgani uchun

Demak (Geyne teoremasiga ko’ra) bu esa (3.2.8) va (3.2.9) integralning uzoqlashishini anglatadi.

3.3-§.Integral ostidagi ko’phadni koeffitsintlari orqali boholash

Bizga biror darajali ko’phad berilgan bo’lsin, ya’ni


Lemma.Faraz qilaylik bo’lsin, uholda quyidagi tengsizlik o’rinli

bu yerda faqatgina va darajaga bog’liq bo’lib, lekin koeffisintlarga bog’liq emas.

Isbot.Jarayonni uchun bajaramiz, ya’ni aytmoqchimizki bu lemma o’zgaruvchi ko’phad uchun ham o’rinli.Buning uchun

deb yozib olib,

deb faraz qilamiz, aks holda ya’ni (3.3.2) shart bajarilmasa, ko’phadning har bir koeffisenti uning absolyut qiymatlar yig’indisiga bo’lib olamiz. Algebraning asosiy teoremasiga ko’ra ni quyidagicha yozamiz hamda ning integralini qaraymiz

bunda lar P ko’phadning kompleks ildizlari

(3.3.3) integral ning kata qiymatlarida bilan baholanadi. Bizga qiyinchilik to’diradigan ning kichik bo’lgan holatidir. Shu holatda integralini baholaylik.Buning uchun quyidagi tasdiqdan foydalanamiz.

Tasdiq[14].Chekli o’lchovli fazolardahar qanday ikkita norma ekvivalentdir.

normalar ekvivalentdir.

bo’ladi (ikkinchi tomondan bo’lgani uchun ham). Demak, bundan ( koeffisentlarga bog’liq).

ni quyidagicha yozib olamiz:

hamda ildizlar to’plamini quyidagi ikki to’plamga ajratamiz. bunda , . Bundan (3.3.4) ni quyidagicha yozamiz.

Endi (3.3.5) ning o’ng tomonini birma bir baholaymiz chunki va .

chunki .	,	,
Quyidagi funksiya bo’lganligi uchun da	eng	monoton kamayuvchi katta qiymatga erishadi.Shuning
uchun . Nihoyat		. Bu tengsizliklardan quyidagini

yozamiz:

Bundan

endi bu tengsizlikka Geoldr tengsizligini qo’llab, quyidagini hosil qilamiz:


bu tengsizlik larda o’rinli. (3.3.6) tengsizlikning o’ng tomonini
bo’lgani uchun chegaralangan ekanini ko’ramiz.Bu yuqoridagi Lemma da o’rinli ekanini ko’rsatadi.
Biz endi lemmani isbotiga qaytamiz bu esa induksiya metodidan kelib chiqadi.Buning uchun ikki o’zgaruvchili bo’lgan holni misol sifatida olaylik.

bo’lsin va yana deb faraz qilaylik. Shunday

juftlikni tanlaymizki maxsimal bo’lsin; deymiz.
Lemmaga ko’ra


natijani bo’yicha integrallab quyidagini hosil qilamiz

bu esa lemmaning isbotini yakunlaydi.

Yuqoridagi lemma ikki o’zgaruvchili ko’phad uchun ham o’rinli ekanligini ko’ramiz.
Natija.[10] Faraz qilaylik

darajasi bo’lgan bir jinsli ko’phad va bo’lsin, u holda quyidagi tengsizlik o’rinli

Haqiqatan ham

va natijani isboti bundan ravshan.