Mövzu: Matris anlayışı

 
T e o r e m 1. Hər bir hər hansı bir sətir və ya sütun elementlərinin öz cəbri tamamlayıcıları ilə hasillərinin cəminə bərabərdir.
Teorem üçtərtibli determinantı ikitərtibli determinantlar vasitəsilə, ikitərtibli determinantı isə birtərtibli determinantlar vasitəsilə təyin etməyə imkan verir. Bu qayda ilə dörd, beş və s. tərtibli determinantları da ardıcıl olaraq təyin etmək olar.
Məsələn, dördtərtibli
matrisinin ∆(A4) determinantını (dördtərtibli determinantı)
∆(A4) = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 + a14 A14 (6)
kimi təyin etmək olar. Burada A11, A12, A13 və A14 kəmiyyətləri dördtərtibli
∆(A4) = (7)
determinantının 1-ci sətir elementlərinin üçtərtibli determinantlar vasitəsilə ifadə olunan uyğun cəbri tamamlayıcılarıdır.
Determinantın tərtibi artdıqca onun elementlərinin və hədlərinin sayı artır.
Determinantlarının hesablanmasını asanlaşdıran bir sıra xassələr vardır. Istənilən tərtibli determinantlara aid olan bu xassələri biz ancaq üçtərtibli determinantlar üçün burada söyləməklə kifayətlənirik.
Determinantın bütün sətirləri ilə sütunlarının uyğun olaraq yerini dəyişdikdə onun qiyməti dəyişməz:
a11 a12 a13 a11 a12 a13
∆ = a21 a22 a23 = a21 a22 a23 (3)
a31 a32 a33 a31 a32 a33
Bu bərabərliyin doğruluğunu isbat etmək üçün sol tərəfdəki determinantı ∆ ilə, sağ tərəfdəki determinantı isə ∆* ilə işarə edək. ∆ determinantının birinci sətir elementləri üzrə ayrılışını və ∆* determinantının birinci sütun elementləri üzrə ayrışını yazaq:
∆ = a11A11 + a12A12 + a13A13 ,
∆*= a11A11* + a12A12* + a13A13*.

A11 = A11*, A12 = A12* və A13 = A13* olduqda ∆ = ∆* .
Determinantın bütün sətirləri ilə sütunlarının uyğun olaraq yerini dəyişməsinə onun çevrilməsi və ya transponirə edilməsi deyilir. Isbat etdiyimiz xassə göstərir ki, determinantın çevrilməsi zamanı onun qiyməti dəyişmir, yəni A matrisi ilə onun A* çevrilməsinin determinantları həmişə bərabərdir:
 
∆(A) = ∆(A*)
Hər bir determinantın sətirləri ilə sütunları eyni hüquqludur. Buna görə də determinantın bundan sonraki xassələrini ancaq sətirləri və ya ancaq sütunları üçün söyləmək kifayətdir.
Determinantın iki sətrinin (və ya sütununun) bir-biri ilə yerini dəyişdikdə determinantın ancaq işsarəsi dəyişər:
a11 a12 a13 a11 a12 a13
a21 a22 a23 = - a21 a22 a23
a31 a32 a33 a31 a32 a33 .
Doğrudan da, sol tərəfdəki determinantın birinci sətir elementləri üzrə ayrılışını:
∆= a11A11 + a12A12 + a13A13
və sağ tərəfdəki determinantın ikinci sətir elementləri üzrə ayrılışını:
∆ꞌ= a11A11ꞌ + a12A12ꞌ + a13A13ꞌ
yazıb, A11 = - A11ꞌ, A12 = - A12ꞌ, A13 = - A13ꞌ olduğunu nəzərə alsaq, onda (3) bərabərliyinin doğruluğu aydın olar.
Iki sətri eyni olan determinant sıfra bərabərdir:
a11 a12 a13
∆= a21 a22 a23 = 0.
a31 a32 a33
Doğrudan da, ∆ determinantında birinci və ikinci sətirlərin bir-biri ilə yerini dəyişsək, onda ∆=-∆. Buradan 2∆=0, ∆=0
Determinantın hər hansı bir sətir elementlərinin ortaq vuruğu olarsa, onda həmin vuruğu determinantın xaricinə çıxarmaq olar.

a11 a12 a13 a11 a12 a13
λ a21 a22 a23 = λ a21 a22 a23 (4)
a31 a32 a33 a31 a32 a33
Bu bərabərliyinin sol tərəfindəki determinantı
∆1=λa21A21+λa22A22+λa23A23=λ(a21A21+a22A22+a23A23) = λ∆.
Determinantın hər hansı bir sətrinin bütün elementləri iki ədədin cəmi kimi verildikdə, həmin determinant iki determinantın cəminə bərabər olar, bu determinantların birində həmin sətir elementləri olaraq birinci toplananlar, o birində isə həmin sətir elementləri olaraq ikinci toplananlar götürülür.