Mövzu: Matris anlayışı

A = a21 a22 ... a2n
. . . . .
am1 am2 ..amn
matrisinin sol yuxarı küncündə olan a11 elementi ilə sağ aşağı küncündə olan amn elementini birləşdirən düz xətt parçası üzərində yerləşən a11, a22, a33, ..., anm elementləri çoxluğu həmin matrisin baş diaqonalı adlanır. Ancaq baş diaqonalının elementləri sıfırdan fərgli olan kvadrat matrisə diaqonal matris deilir. Bütün elementləri vahidə bərabər olan diaqonal matris vahid matris adlanır və In ilə işarə olunur. Birtərtibli vahid matris
ikitərtibli vahid matris
Üçtərtibli vahid matris və s.olar.
Bütün elementləri sıfra bərabər olan kvadrat matrisə sıfır matris deyilir və O ilə işarə olunur.
Verilmiş A matrisinin bütün sətir və sütunlarının yerinin dəyişilməsinə (nömrəsini saxlamaqla) həmin matrisin çevrilməsi (transponirə edilməsi) deyilir və A⃰ ilə işarə olunur.
Aydındır ki, (A*)* = A olar. A = A* olduqda A matrisinə simmetrik matris deyilir. (2) matrisinin simmetrik olması şərtini ai j = ai j ( i, j = 1, 2, ..., n ) kimi yazmaq olar.
ai j = - ai j olduqda A matrisinə çəpsimmetrik matris deyilir.
Bütün elementləri həqiqi ədədlər olan matrisə həqiqi, heç olmasa bir elementi kompleks ədəd olan matrisə isə kompleks matris deyilir. Biz burada həqiqi matrislərə baxırıq.
Eyni ölçülü və bütün uyğun elementləri bərabər olan matrislərə bərabər matrislər deyilir.
Matrislərin cəmindən (fərgindən), ədədə və başqa matrisə hasillərindən danışmaq olar.
Eyni (m · n) – ölçülü A =║ai j║ və B = ║bi j║ (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ...,n) matrislərinin cəmi həmin ölçülü və hədləri
ci j = ai j + bi j (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ...,n)
kimi təyin olunan C = ║ci j║ (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ...,n) matrisinə deyilir və C = A+B ilə işarə olunur.
Tərifdən aydındır ki, matrislərin toplanması yerdəyişmə və qruplaşdırma xassələrinə malikdir, yəni eyniölçülü A, B və C matrisləri üçün
A + B = B + A,
A + ( B + C ) + (A + B ) + C
münasibətləri doğrudur.
Eyniölçülü A matrisi və O (sıfır) matrisi üçün həmişə
A + O = A
münasibəti doğrudur.
Eyniölçülü A və B matrislərinin fərgi həmin ölçülü elə C matrisinə deyilir ki, onu B ilə topladıqda A-ya bərabər olsun: A = C + B. A və B matrislərinin fərgini
A – B = C
ilə işsarə edirlər. Aydındır ki, həmişə:
A – A = O

Verilmiş A =║ai j║ (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ...,n) matrisinin həqiqi λ ədədinə hasili, hədləri
bi j = λ ai j (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ...,n)
kimi təyin olunan B = ║bi j║ (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ...,n) matrisinə deyilir və B = λA( və ya B = Aλ ) ilə işarə olunur
 
Aydındır ki, ixtiyarı A, B matrisləri və həqiqi λ, μ ədədləri üçün
( λμ ) A = λ ( μA ), λ ( A + B ) = λA + λB,
( λ + μ )A = λA + μA
xassələri doğrudur.
Qeyd edək ki, A və B matrislərinin fərgini
A + B = A + (-1 ) · B
kimi də yazmaq olar. Bundan başqa
( A + B )* = A* + B * və (λA )* = λA* (2)
sadə xassələri də doğrudur.
Indi iki matrisin hasilinin təyin edək. (m · n) – ölçülü A =║ai j║ (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ...,n) matrisinin (n · p) – ölçülü B = ║bi j║ matrisinə hasili hədləri ci j
i k bk j (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ..., p) (3)
kimi təyin olunan ( m · p) ölçülü C = ║ci j║ (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ...,p) matrisinə deyilir və C=AB ilə işarə olunur.
Tərifdən aydındır ki, istənilən ölçülü iki matrisi vurmaq olmaz. A matrisini o zaman B matrisinə vurmaq olar ki; A-nın sütunlarının sayı B-nın sətirlərinin sayına bərabər olsun. Xüsusi halda,
Deməli, AB və BA hasillərinin ikisinin də eyni zamanda təyin olunması üçün A-nın sütunlarının sayı B-nın sətirlərinin sayına və A-nın sətirlərinin sayı B-nın sütunlarının sayına bərabər olmalıdır. A və B matrisləri eynitərtibli kvadrat matrislər olduqda AB və BA hasilləri də eynitərtibli kvadrat matrislər olar.
Xüsusi halda, hər bir kvadrat A matrisini özü-özünə vurmaq olar. Bu halda həmin matrisin kvadratı, kubu və s. alınır:
A·A=A2, A·A·A=A·A2=A3, ...
Qeyd edək ki, eynitərtibli iki A və B kvadrat matrislərinin hasili üçün yerdəyişmə xassəsi doğru olmaya da bilər.
Lakin istənilən kvadrat A matrisi ilə eynitərtibli olan I vahid və O sıfır matrislərinin hasili üçün həmişə yerdəyişmə xassəsi doğrudur:
IA = AI = A (4)
OA = AO = O (5)
(4) bərabərliyi göstərir ki, vahid I matrisinin həqiqi vahid ədədinin uyğun xassəsinə vardır. Məsəslən, ixtiyari A, B, C matrisləri ( lazım olan ölçülü ) və həqiqi λ ədədi üçün
(λA)B = A(λB) = λ(AB),
(A+B)C = AC + BC
C(A+B) = CA + CB
A(BC) = (AB) · C
bərabərlikləri doğrudur.
Bu bərabərliyin sağ tərəfindəki (4) ifadəsinə (5) determinantını açılışı (və ya qiyməti) deyilir. Verilmiş determinantın qiymətini tapmaq üçün onun bərabər olduqu (4) ifadəsini hesablamaq lazımdır.
Matrislər kimi determinantlar da sətir və sütunlardan ibarətdir. Ikitərtibli determinantın iki sətri və iki sütunu, üçtərtibli determinantın isə üç sətri və üç sütunu vardır. Determinantı təşkil edən ai j ədədləri onun elementləri adlanır. Determinantın hər hansı elementinin olduğu sətir və sütun üzərindən düz xətlər çəkdikdə yerdə qalan elementlər ( nisbi vəziyyətlərini dəişmədən) bir determinant (tərtibi verilmiş determinantın tərtibindən bir vahid az olan) əmələ gətir.
Bu determinanta həmin elementin minoru deyilir. ai j elementinin minorunu Mi j ilə işarə edirlər. Mi j ilə işarə minorunun (-1)i+j vuruğu ilə hasilinə ai j elementinin cəbri tamamlayıcısı deyilir və
Ai j = (-1)i+j Mi j
ilə işarə olunur.
İkitərtibli (2) determinantının a11 elementinin minoru M11 = a22 cəbri tamamlayıcısı isə A11 (-1)1+1M11 = a22; üçtərtibli (5) determinantının a13 və a23 elementlərinin minoru uyğun olaraq
M13 = və M23 =

cəbri tamamlayıcıları isə
A13 = (-1)1+3 və A23 = (-1)2+3