MühaziRƏ -1-2 Ardıcıllıq və onun limiti

Tərif. Kəsilməyən əyrinin qabarıq hissəsini çökük hissəsindən ayıran nöqtəyə dönmə (əyilmə) nöqtəsi deyilir.
Teorem 2. (Dönmə nöqtəsinin varlığı üçün şərtin zəruriliyi) funksiyasının nöqtəsində ikinci tərtibli kəsilməz törəməsi varsa və nöqtəsi onun qrafikinin dönmə nöqtəsidirsə, onda .
Kəsilməyən funksiyanın ikinci törəməsinin sıfra çevrildiyi və olmadığı nöqtələrə həmin funksiyanın ikinci törəməsinə nəzərən böhran nöqtələri deyilir.
Teorem 3. (Dönmə nöqtəsinin varlığı üçün kafi şərt). Tutaq ki, nöqtəsinin müəyyən ətrafında ( nöqtəsi müstəsna olmaqla) funksiyasının sıfra çevrilməyən ikitərtibli törəmsi vardır. Əgər soldan sağa nöqtəsindən keçdikdə funksiyanın törəməsi öz işarəsini, dəyişərsə, onda nöqtəsi əyrisinin dönmə nöqtəsidir, soldan sağa nöqtəsindən keçdikdə törəməsi öz işarəsini dəyişmirsə, onda həmin nöqtə əyrisinin dönmə nöqtəsi deyildir.
MÜHAZİRƏ 10.
Qeyri- müəyyən inteqral


İbtidai funksiya və qeyri-müəyyən inteqral
Fərz edək ki, f( ) və F(x) hər hansı [ , b] parçasında təyin olunmuş funksiyalardır.
Tərif. [ , b] parçasının bütün nöqtələrində
və ya dF(x)=f(x)dx (1)
bərabərliyi ödənilərsə, onda F( ) funksiyasına f( )-in [ ,b] parçasında ibtidai funksiyası deyilir.
Aydındır ki, F( ) funksiyası f( )-in ibtidai funk­siyasıdırsa, onda C ixtiyari sabit ədəd olduqda F( )+C funksiyası da həmin f( ) funksiyasının ibtidai funksiyası olar. Doğrudan da, (1) bərabərliyinə görə: .
Buradan alınır ki, əgər f( ) funksiyasının F( ) ibtidai funksiyası vardırsa, onda F(x)+C (C ixtiyari sabitdir) şəklində olan sonsuz sayda funksiyalar da həmin funksiyanın ibtidai funksiyası olar.
Teorem. f( ) funksiyasının ixtiyari iki F( ) və ibtidai funksiyası bir-birindən sabit ədədlə fərqlənir: =F(x)+C.
Bu teorem göstərir ki, F( ) funksiyası f( )-in hər hansı ibtidai funksiyasıdırsa, onda onun bütün ibtidai funksiyaları {F( )+C} çoxluğuna daxildir.
Tərif. f( ) funksiyasının [ , b] parçasında bütün ibtidai funksiyaları çoxluğuna f( ) funksiyasının həmin parçada qeyri-müəyyən inteqralı deyilir və kimi işarə olunur.
Tərifə görə əgər olarsa, onda =F(x)+C olar. (2)
Burada f( ) inteqralaltı funksiya, f( )d isə inteqral­altı ifadə adlanır.
İnteqral işarəsi altında təkcə inteqralaltı f( ) funksiyasını yazmayıb, f( )d şəklində inteqralaltı ifadəni yazmağın əsas səbəbi ondan ibarətdir ki, belə yazdıqda inteqralın hansı dəyişənə görə götürülməsi aydın olur.
İnteqral əyriləri kəsişmir və bir-birinə toxunmur. Müstəvinin absisi [a, b] parçasına daxil olan hər bir nöqtəsindən ancaq bir inteqral əyrisi keçir.
Verilmiş funksiyanın ibtidai funksiyalarını tapmağa həmin funksiyanı inteqrallamaq deyilir. Deməli, törəməsi verilmiş funksiyanın özünü tapmaqdan ibarət olan inteqrallama əməli diferensiallama əməlinin tərsidir. Verilmiş funksiyanı qabaqca diferensiallayıb, sonra da alınan ifadəni inteqrallasaq, onda verilmiş funksiyannın özünü (sabit C qədər dəqiqliklə) alarıq. Buradan görünür ki, d (diferensiallama) və (inteqrallama) işarələri ilə göstərilən əməllər qarşılıqlı tərs əməl­lərdir: