MühaziRƏ -1-2 Ardıcıllıq və onun limiti

Teorem (Lokal ekstremumun varlığı üçün zəruri şərt). funksiyasının diferensiallanan olduğu nöqtəsində lokal ekstremumu varsa, onun törəməsi həmin nöqtədə sıfra bərabərdir: .
İsbatı. Tutaq ki, funksiyasının nöqtəsində ekstremumu (məsələn, lokal maksimumu) var. Onda ixtiyari (kiçik) artımı üçün: . Buradan olduqda, olduqda olar. Bu bərabərliklərdə şərtində limitə keçsək, eyi zamanda münasibətləri alınır. Buradan da . Funksiyanın törəməsinin sıfra bərabər olduğu nöqtələrə həmin funksiyanın stasionar nöqtələri deyilir. Funksiyanın lokal ekstremumu törəməsi olmadığı ( olan və -in heç olmadığı) nöqtələrdə də ola bilər. Məsələn və funksiyalarının hər ikisinin nöqtəsində törəməsi yoxdur, lakin həmin nöqtəsində onların lokal minimumu var. Kəsilməyən funksiya törəməsinin sıfra çevrildiyi və törəməsi, olmadığı nöqtələrə həmin funksiyanın böhran nöqtələri deyilir. Yuxarıda deyilənlərə əsasən funksiyanın lokal ekstremumun varlığı üçün şərtin zəruriliyini aşağıdakı kimi ümumi şəkildə söyləmək olar.
Şərtin zəruriliyi. Funksiyanın lokal ekstremum qiymət aldığı hər bir nöqtə həmin funksiyanın böhran nöqtəsidir.
Teorem (Ekstremumun varlığı üçün kafi şərt). Tutaq ki, funksiyası böhran nöqtəsinin müəyyən ətrafında kəsilməyən və həmin ətrafda nöqtəsi müstəsna olmaqla, diferensiallanan funksiyadır. Əgər soldan sağa nöqtəsindən keçdikdə funksiyanın törəməsi öz işarəsini dəyişirsə, onda həmin nöqtədə funksiyanın lokal ekstremumu var, soldan sağa nöqtəsindən keçdikdə funksiyanın törəməsi öz işarəsini dəyişmədikdə isə həmin nöqtədə funksiyanın lokal ekstremumu yoxdur.
Bu halda funksiyanın törəməsi nöqtəsindən solda müsbət, sağda mənfi olduqda həmin nöqtədə funksiyanın lokal maksimumu var, funksiyanın törəməsi nöqtəsindən solda mənfi , sağda müsbət olduqda isə həmin nöqtədə funksiyanın lokal minmumu var.
Funksiyanın lokal ekstremumun varlığını ikitərtibli törəmə vasitəsilə təyin etmək bəzən daha əlverişli olur.
Teorem. Əgər funksiyasının stasionar (yəni olan) nöqtəsində ikitərtibli törəməsi varsa, onda olduqda funksiyanın nöqtəsində lokal maksimumu, olduqda isə həmin nöqtədə lokal minimumu var.
İsbatı. İkitərtibli törəmənin tərifinə görə olduğundan ixtiyari ədədi üçün elə var ki, in bərabərsizliyini ödəyən bütün qiymətlərində (1) münasibəti ödənilir. olduqda müsbət ədədini elə seçmək (məsələn olar ki, bərabərsizliyi ödənilsin. Onda (1) bərabərsizliyinin sağ tərəfindən alaraq ki, in bərabərsizliyini ödəyən bütün qiymətlərində (2). olduqda və olduqda olduğundan (2) bərabərsizliyinin ödənimlməsi üçün olduqda olduqda isə olmalıdır. Deməli, funksiyanın törəməsi nöqtəsində öz işarəsini müsbətdən mənfiyə dəyişir, yəni həmin nöqtədə funksiyanın lokal maksimumu var. olduqda isə (1) münasibətinin sol bərabərsizliyinə əsasən göstərmək olar ki, olduqda , olduqda isə olmalıdır, yəni törəməsi öz işarəsini nöqtəsində mənfidən müsbətə dəyişir. Bu da funksiyanın nöqtəsində lokal minimumu olduğunu göstərir.
Qeyd. Verilmiş funksiyasının böhran nöqtəsində birinci və ikinci tərtib törəmələri sıfra bərabər olduqda, həmin nöqtədə lokal ekstremumun varlığını yüksək tərtibli törəmələr vasitəsilə müəyyən etmək olar.