MühaziRƏ -1-2 Ardıcıllıq və onun limiti

MÜHAZİRƏ-8
Teylor düsturu.
Tutaq ki,
(1)
-dərəcəli çoxhədli və hər hansı həqiqi ədəddir. Bu çoxhədlini həmişə fərqinin qüvvətlərinə görə yazmaq olar, yəni elə ədədləri tapmaq olar ki,
(2)
bərabərliyi doğru olsun. (2) bərabərliyini ardıcıl olaraq dəfə diferensiallasaq və alınan bərabərliklərdə götürsək, onda əmsalları üçün düsturu alınar. Bu qiymətləri (2) düsturunda nəzərə alsaq, onda:
(3).
(3) bərabərliyinə çoxhədli üçün Teylor düsturu deyilir. olduqda
(4)
düsturunu alarıq. Bu düstura çoxhədli üçün Makloren düsturu deyilir. Tutaq ki, funksiyasının nöqtəsini öz daxilinə alan hər hansı intervalda ( ) tərtibə qədər ( daxil olmaqla) bütün törəmələri var. Onda həmin funksiya üçün
(5)
çoxhədlisini düzəltmək olar. Bu çoxhədliyə funksiyasının -dərəcəli Teylor çoxhədlisi deyilir. funksiyası dərəcəli çoxhədli olmadıqda fərqi ümumiyyətlə, sıfırdan fərqli olar. Bu fərqi ilə işarə etsək: və ya
(6).
(6) düsturuna -in fərqinin qüvvətlərinə görə yazılmış Teylor düsturu, funksiyasına isə Teylor düsturunun qalıq həddi deyilir. Qalıq həddin müxtəlif formaları var. Bunlardan ifadəsi qalıq həddin Laqranj şəkli adlanır. Burada olduğunu nəzərə alsaq, Teylor düsturu (7).
Əgər götürsək funksiyası üçün Makloren düsturu alınar:
(8).
Bir sıra elementar funksiyaların Makloren düsturuna görə ayrılışını verək:
;
;
.


MÜHAZİRƏ-9


Funksiyanın ekstremumları
1. Funksiyanın ekstremumları
Tərif. Əgər -in nöqtəsinin hər hansı ətrafında yerləşən bütün qiymətlərində bərabərsizliyi ödənilərsə onda deyirlər ki, funksiyasının nöqtəsində lokal maksimumu var. ədədinə funksiyanın lokal maksimum qiyməti deyilir.
Analoji olaraq -in nöqtəsinin hər hansı ətrafında yerləşən bütün qiymətlərində bərabərsizliyi ödənilərsə, onda deyirlər ki, funksiyasının nöqtəsində lokal minimumu var. ədədinə funksiyanın lokal minimum qiyməti deyilir.
Funksiyanın lokal maksimumu və lokal minimumuna birlikdə funksiyanın lokal ekstremumu deyilir. Funksiya lokal ekstremumu oblastın, daxili nöqtəsində aldığından ona daxili ekstremum da deyilir. funksiyasının parçasının ucundakı qiyməti həmin nöqtənin hər hansı sağ ətrafındakı bütün qiymətlərində olarsa, onda deyirlər ki, funksiyasının nöqtəsində sərhəd maksimumu (minimumu) var. Parçanın ucunda sərhəd maksimumu (və sərhəd minimumu) da eyni qayda ilə təyin olunur. Funksiyanın sərhəd maksimumu və sərhəd minimumu birlikdə funksiyanın sərhəd ekstremumu adlanır.