2.Teorem (Laqranj teoremi). parçasında kəsilməyən və intervalında diferensiallanan funksiyası üçün həmin intervalda yerləşən elə nöqtəsi var ki, bu nöqtədə
(3)
bərabərliyi doğrudur.
(3) bərabərliyinə Laqranj düsturu və ya sonlu artımlar düsturu deyilir.
İsbatı. parçasında təyin olunmuş (4) funksiyasına baxaq. funksiyası parçasında kəsilməyəndir, intervalında diferensiallanandır və parçanın uc nöqtələrində bərabər qiymətlər alır: . Onda Roll teoreminə görə onun törəməsi bir nöqtəsində sıfra bərabər olar: . Buradan (3) bərabərliyi alınır.
Nəticə. olarsa, (3) düsturundan alınır, yəni Roll teoremi Laqranj teoreminin nəticəsidir. Teoremin isbatından aydındır ki, Laqranj teoremi də Roll teoreminin nəticəsidir. Laqranj teoremi həndəsi olaraq göstərir ki, funksiyasının qrafiki olan əyri üzərində nöqtəsi var ki, bu nöqtədə əyriyə çəkilmiş toxunan AB vətərinə paraleldir (şəkil 2).
3.Teorem (Koşi).Tutaq ki, və funksiyaları parçasında kəsilməyən, intervalında diferensiallanan və həmin intervalın bütün nöqtələrində şərtini ödəyən funksiyalardır. Onda intervalında yerləşən elə nöqtəsi var ki, bu nöqtədə
(5)
bərabərliyi doğrudur.
İsbatı. Teoremin şərtindən aydındır ki, ,
çünki əks halda, yəni olduqda Roll teoreminə görə bir nöqtəsində olar ki, bu da şərtə ziddir. İndi aşağıdakı kimi köməkçi funksiya düzəldək:
(6).
funksiyası parçasında kəsilməyəndir. intervalında diferensiallanandır və parçanın uc nöqtələrində sıfra bərabərdir: . Onda Roll teoreminə görə onun törəməsi intervalının bir nöqtəsində sıfra bərabər olar: . Buradan (5) bərabərliyi alınar. Nəticə. olarsa, olar və (5) düsturu Loqranjın düsturuna çevrilər. Deməli Laqranj teoremi Koşi teoreminin xüsusi halıdır.
