MühaziRƏ -1-2 Ardıcıllıq və onun limiti

Teorem 1. Əgər R(sin , cos ) funksiyası cos -ə nəzərən tək funksiyadırsa, onda sin =t əvəzləməsi ilə inteqralı rasional funksiyanın inteqralına gətirilir.
Teorem 2. Əgər R(sin , cos ) fünksiyası sin -ə nəzərən tək funksiyadırsa, onda cos =t əvəzləməsi ilə inteqralı rasional funksiyanın inteqralına gətirilir.
Qeyd. Adətən m, n tam ədədlərindən biri, yaxud hər ikisi tək ədədlər olduqda 1 və 2 teoremləri sinx və cosx funksiyalarının qüvvətlərinin sin^m cosⁿ hasilinin inteqral­lanmasına tətbiq olunur.
Teorema 3. Əgər R(sin , cos ) funksiyası sin və cos funksiyalarının hər ikisinə nəzərən cüt funksiyadırsa, onda tg =t əvəzləməsi ilə inteqralını rasional funksiyanın inteqralına gətirmək olar. İnteqralın hesablanması üçün triqonometriyanın məlum

düsturlarından istifadə etmək əlverişlidir. Triqonometrik funksiyaların hasili daxil olan inteqralları

düsturlarını tətbiq etdikdə bilavasitə inteqrallanırlar.


MÜHAZİRƏ 12.


Müəyyən inteqral


1. Müəyyən inteqralın tərifi
Riyazi analizin əsas anlayışlarından biri olan müəyyən inteqral riyaziyyat, fizika, mexanika və başqa fənlərdə əsas tədqiqat vasitəsidir. Sahə, qövs uzunluğu, həcm, iş, sürət, yol, ətalət (inersiya) momenti və s. mühüm kəmiyyətlərin hesablanması müəyyən inteqralların hesablanmasına gətirilir.
Sonlu [ , b] parçasında yerləşən və
münasibətini ödəyən ₀, ₁, ₂, …, _n nöqtələri verildikdə, deyirlər ki, [ , b] parçası kiçik (k=0, 1,…,n-1) hissələrinə bölünmüşdür. parçasının uzunluğunu ilə işarə edək: (k=0,1,…n-1) ədədlərinin ən böyüyü bölgü addımı adlanır və ilə işarə olunur: .
Tutaq ki, y=f(x) funksiyası sonlu [ , b] parçasının təyin olunmuşdur. [ , b] parçasının bölündüyü kiçik parçalarının hər birinin daxilində ixtiyari bir _k (k=0,1,…,n-1) nöqtəsi götürüb aşağıdakı kimi cəm düzəldək:
(1)
Bu cəmin qiyməti [ , b] parçasının bölünmə qay­dasından və _k nöqtələrinin seçilməsindən asılıdır. (1) cəminə funksiyasının [ , b] parçasında inteqral cəmi deyilir.
[ , b] parçasını müxtəlif üsullarla hissələrə bölməklə (1) şəklində inteqral cəmlər ardıcıllığını alarıq.
Tərif. funksiyası üçün [ , b] parçasında düzəldilmiş (1) inteqral cəmləri ardıcıllığı 0 şərtində sonlu limiti varsa, onda funksiyasına [ , b] par­ça­sında inteqrallanan funksiya, həmin limitə isə onun [ , b] parçasında müəyyən inteqralı deyilir və ilə işarə edilir:
. (2)
Burada funksiyası inteqralaltı funksiya, və b ədədləri, uyğun olaraq, müəyyən inteqralın aşağı və yuxarı sərhədləri, dəyişəni isə inteqrallama dəyişəni adlanır.
Tərifdən aydındır ki, müəyyən inteqralın qiyməti inteqrallama dəyişənindən asılı deyildir: .
Müəyyən inteqralın tərifinə əlavə olaraq qeyd edək ki, =b olduqda müəyyən inteqral
0 bərabərliyi ilə, b olduqda isə - kimi təyin olunur.
Tutaq ki, yuxarıdan y= əyrisi, aşağıdakı y=0 düz xətti (absis oxu) və yanlardan = , =b düz xətləri ilə hüdudlanmış müstəvi fiquru verilmişdir. Belə fiqura oturacağı [a, b] parçası olan əyrixətli trapesiya deyirlər.
[ , b] parça­sını nöqtələri ilə kiçik (k=0,1,…,n-1) parçalarına ayıraq. funksiyasının parçasında ən kiçik və ən böyük qiymətlərini uyğun olaraq m_k və M_k ilə işarə edək. Hər bir
p arçasına uyğun iki düzbucaqlı qurmaq olar. Bunlar, hər iki­sinin bir tərəfi par­çası, digər tərə­fi isə uyğun olaraq y=m_k və y=M_k olan ABCD və düz­bu­caqlılarıdır.
Birinci növ düzbucaqlıların sahələrinin cəmini
( ) ( )

ilə işarə edək (bölgü addımı -dır).

Tərif. ( ) və ( ) cəmlərinin 0 şərtində bir-birinə bərabər olan limitləri varsa, həmin limitə əyrixətli trapesiyanın sahəsi deyilir və S-lə işarə olunur.

[ , b] parçasında kəsilməyən funksiyası inteqrallanan olduğundan

(3) olar.
Buradan müəyyən inteqralın həndəsi mənası alınır:
İnteqralaltı funksiyası [ , b] parçasında kəsilməyən və mənfi olmayan olduqda inteqralı əyrixətli trapesin sahəsinə bərabər olar.
Müəyyən inteqralın varlığını müəyyən edən aşağıdakı teoremi qeyd edək: