MühaziRƏ -1-2 Ardıcıllıq və onun limiti

Rasional kəsrlərin inteqrallanması
Tutaq ki, düzgün rasional kəsrin inteqralını hesablamaq tələb olunur. Bu kəsri yuxarıda qeyd etdiyimiz (4) düsturu vasitəsilə sadə rasional kəsrlərin cəmi şəklinə gətirib inteqrallamaq lazımdır. Alınan sadə rasional kəsrlərin hansı növdən olması məxrəcin, çoxhədlisinin köklərindən asılıdır. Burada aşağıdakı hallar mümkündür.
I hal. Məxrəcin kökləri həqiqi və müxtəlifdir, yəni çoxhədlisinin kökləri həqiqi və müxtəlif ədədlərdir. Onda çoxhədlisi
şəklində xətti vuruqlarına ayrılır (c_n əmsalını vahidə bərabər götürmək olar).
Bu halda kəsri I növ sadə rasional kəsrlərin cəminə ayrılar:

Buradan

Ayrılışdakı A₁, A₂,…,A_n naməlum əmsalları qeyri müəyyən əmsallar üsulu və ya qiymətvermə üsulu ilə tapmaq olar.
II hal. Məxrəcin kökləri həqiqidir və bəziləri təkrar­lanandır. Məsələn kökü r dəfə təkrarlanandır. Onda p( ), şəklində vuruqlarına ayrılar.
Bu halda kəsri I və II növ sadə rasional kəsrlərə ayrılır:

Onda

III hal. Məxrəcin kökləri içərisində kompleks olanları vardır. Bu halda kəsri I, II və III sadə rasional kəsrlərə ayrılır.
Şərh olunan üsul istənilən rasional funksiyanın inteqrallanmasına tətbiq oluna bilər. Lakin hər bir rasional funksiyanın inteqrallanmasına bu üsülu tətbiq etmək əlverişli deyyil. Buna görə də bəzi rasional funksiyaların inteqralını xüsusi yollar və əvəzləmələr vasitəsilə hesablamaq daha əlverişli olur.
Misal . inteqralı hesablamalı.Həlli:



Triqonometrik funksiyalar daxil olan ifadələrin inteqrallanması.
Universal əvəzləmə
Tutaq ki,

R(sin , cos , tg , ctg , sec , cosec )d

(1)

şəklində inteqralın hesablanması tələb olunur. tg , ctg , sec və cosec funksiyaları əsas triqonometrik eyniliklər vasitəsilə sinx və cosx ilə ifadə olunduğundan (1) inteqralı

(2)

şəklində inteqrala çevrilir. Buna görə də ancaq (2) inteqralının hesablanması ilə məşğul olaq.
(2) inteqralında

(3)

əvəzləməsini aparaq:

Onda həmin inteqral t dəyişənindən asılı rasional funksiyanın inteqralına gətirilir:

Rasional funksiyaların inteqrallanma üsulları isə məlumdur.
Beləliklə, (2) şəklində hər bir inteqralı (3) əvəzləməsi vasitəsilə rasional funksiyanın inteqralına gətirib hesab­lamaq olur. Buna görə də (3) əvəzləməsinə «universal triqonometrik əvəzləmə» deyilir.
Universal triqonometrik əvəzləmə bəzən çox mürək­kəb rasional funksiyanın inteqralına gətirir. Belə halda digər əvəzləmələrdən istifadə etmək daha əlverişli olur.