MühaziRƏ 1 Analizə giriş Riyazi induksiya üsulu

Misal 18. Ardıcıllıqların limitini tapın.

1)

Ardıcıllığın monoton məhdud ardıcıllıq olduğunu göstərək.

,

çünki, . Deməli ardıcıllıq monoton azalandır. Digər tərəfdən asanlıqla görmək olar ki, , yəni ardıcıllıq məhduddur. Ona görə teorem 10-a əsasən hökm edə bilərik ki, onun limiti var. Bu limiti c ilə işarə edək və

Bərabərsizliyində şərti ilə limitə keçək:

Buradan, və deməli c=0, yəni . Həm də teorem 10-a əsasən hökm edə bilərik ki, .

2) ;

. Göründüyü kimi, və ya , yəni nömrəsindən başlayaraq ardıcıllıq azalır və aşağıdan 0-la məhduddur. Ona görə də onun limiti var. Bu limiti c ilə işarə edərək

bərabərsizliyində şərtilə limitə keçək:

Buradan c=0c=0, yəni və deməli, .

3) ;

Qeyd edək ki, ardıcıllığı

kimi rekurrent münasibət şəklində yazmaq olar.

Əvvəlcə tutaq ki, . Onda olduğundan . Fərz edək ki, . Onda . İnduksiyaya əsaslanaraq hökm edə bilərik ki, istənilən n üçün , yəni ardıcıllıq yuxarıdan məhduddur.

Digər tərəfdən,

və deməli, ardıcıllıq artandır, ona görə də onun limiti var. Bu limiti c ilə işarə edək. Onda rekurrent münasibətdə limitə keçsək

və buradan tapırıq ki, və ya , yəni .

olduqda isə . İnduksiyaya əsaslanaraq müəyyən edirik ki, . Digər tərəfdən . Yəni bu halda ardıcıllıq azalan olub aşağıdan məhduddur. Ona görə də limiti var və analoji qaydada tapırıq ki, .

4)

İnduktiv olaraq hökm edə bilərik ki, . məlum bərabərsizliyində götürsək alırıq ki,

yəni, olduqda və ya olduqda . Deməli ardıcıllıq aşağıdan məhduddur. Göstərək ki, o həm də artan deyil.

və ya olduğundan rekurrent münasibətdən yaza bilərik:

yaxud .

Deməli, ardıcıllıq monoton artmayan olub aşağıdan məhduddur. Ona görə onun limiti var və bu limiti c ilə işarə edərək rekurrent münasibətdə şərtilə limitə keçək:

və buradan . Yəni və deməli .

Qeyd edək ki, baxılan ardıcıllığa ədədinin təqribi qiymətlər ardıcıllığı kimi baxmaq olar:

və s.

5) ;

Əvvəlcə qeyd edək ki, verilmiş ardıcıllığı aşağıdakı rekurrent münasibət şəklində yazmaq olar:

Göstərək ki, baxılan ardıcıllıq monoton azalan məhdud ardıcıllıqdır. Bunun üçün riyazi induksiya üsulundan istifadə edək. olduğundan, sonuncu bərabərlikdən alırıq ki,

və ya

İndi isə fərz edək ki, . Yenə də funksiyasının aralığında monoton artan olduğunu nəzərə alsaq

və ya

Beləliklə, induksiyaya əsaslanaraq hökm edə bilərik ki, baxılan ardıcıllıq monoton azalan məhdud ardıcıllıqdır. Ona görə də onun limiti var. Bu limiti c ilə işarə edərək rekurrent münasibətdə şərtilə limitə keçək:

kəsilməz funksiya olduğundan alırıq ki, . Burada isə , yəni . Həmçinin, hökm edə bilərik ki, .

6)

Artıq isbat etmişik ki, baxılan ardıcıllıq monoton artandır (bax misal 8.3). Göstərək ki, o həm də məhduddur. Bunun üçün sağ tərəfi Nyuton binomuna görə açaq:

Burada , olduğunu nəzərə alsaq tapırıq ki,

Digər tərəfdən, doğru bərabərsizliyinə əsasən

Aşağıdan isə bu ardıcıllıq özünün birinci həddi ilə məhduddur. Deməli, . Beləliklə, baxılan ardıcıllıq monoton artan və məhdud ardıcıllıqdır. Ona görə də onun limiti var. Həmin limit e ilə işarə olunur:

İsbat olunur ki, e ədədi irrasional ədəddir və onun təqribi qiyməti

kimi hesablanır. Toplananların sayı nə qədər çox götürülərsə e ədədinin bir o qədər dəqiqliklə təqribi qiyməti alınır:

.

e ədədi təkcə riyazi analizdə yox, ümumiyyətlə, riyaziyyatda mühüm əhəmiyyətə malikdir.

Qeyd. ardıcıllığı monoton artan olub limiti ədədi olduğundan Teorem 10-a əsasən hökm edə bilərik ki, və ya . Hər tərəfi əsasdan loqarifmləsək tapırıq ki,