MühaziRƏ 1 Analizə giriş Riyazi induksiya üsulu

bərabərsizliyi ödənsin.

Koşi kriteriyasının şərtlərini ödəyən ardıcıllığa fundamental ardıcıllıq deyilir.

Deməli, ardıcıllığın yığılan olması üçün zəruri və kafi şərt onun fundamental ardıcıllıq olmasıdır.

Misal 19. Verilmiş ardıcıllığı üçün , , və - i tapın.

1) ;

olduqda ;

olduqda ;

alt ardıcıllıqlarını alırıq və verilmiş ardıcıllığın bütün hədləri bu ardıcıllıqlardan birinə daxildir. Ona görə də baxılan ardıcıllığın xüsusi limitləri (və ya limit nöqtələri) bu alt ardıcıllıqların limiti kimi tapıla bilər:

;

Ardıcıllığın iki limit nöqtəsi var və göründüyü kimi

,

İndi isə ardıcıllığın dəqiq aşağı və dəqiq yuxarı sərhədlərini tapaq.

Asanlıqla müəyyən etmək olar ki, ardıcıllığı azalan ardıcıllıqdır. Ona görə də

və Teorem 10 - ə əsasən

Eynilə müəyyən edilir ki, ardıcıllığı artan ardıcıllıqdır və ona görə də

,

və

.

Beləliklə,

2)

, , və nömrəli hədlərdən düzəldilmiş alt ardıcıllıqlara baxaq.

olduqda

olduqda


olduqda ;
olduqda

Baxılan ardıcıllığın bütün hədləri bu alt ardıcıllıqlardan birinə daxildir. Ona görə də limit nöqtələri və ya xüsusi limitlər bu alt ardıcıllıqların limiti kimi tapıla bilər:

.

Ardıcıllığın üç limit nöqtəsi var və göründüyü kimi,

.

Hər bir alt ardıcıllığın dəqiq aşağı və dəqiq yuxarı sərhədlərini tapaq.

və ardıcıllıqları sabit ardıcıllıqlardır və



.

alt ardıcıllığı azalan ardıcıllıqdır və ona görə də

Bu nəticələri yekunlaşdıraraq tapırıq ki,

Qeyd edək ki, alt ardıcıllıqları seçərkən , , və də götürmək olardı.

3) ;

, və , nömrəli hədlərdən düzəldilmiş alt ardıcıllıqlara baxaq.

olduqda

olduqda


olduqda

Xüsusi limitləri tapa bilərik:

.

Deməli,

.

Əvvəlki misaldakına oxşar mühakimələr apararaq tapmaq olar ki,

4) ;

olduqda ;

olduqda ;

alt ardıcıllıqlarını alırıq.

Hər iki alt ardıcıllıq sonsuz böyük kəmiyyətlərdir. Ona görə də

Deməli,

Asanlıqla müəyyən olunur ki,