Mühazirə 1 Xətalar, onların növləri, yaranma mənbələri və hesablanma qaydaları

I. Qauss üsulunu belə şərh etmək olar: əvvəlcə matris yuxarı üçdiaqonallı şəklə (düzünə gediş), sonra isə vahid matrisə (tərs gediş) gətirilir.
Aydındır ki, əgər matris vahid matrisdirsə, onda .
Tutaq ki, (1) sisteminin matrisi yuxarı üçbucaq şəkillidir, ona görə də = 0 , i ˃ j olduqda, yəni baş diaqonaldan aşağıda yerləşən bütün elementlər sıfra bəra-bərdir. Onda sonuncu tənlikdən tapılır, əvvəlki tənlikdə o nəzərə alınır və tapılır və s. Ümumi hesablama düsturları belə olur:
olduqda,
olduqda.
olduqda olur.
Indi isə (1) sisteminin matrisini yuxarı üçbucaq şəklinə gətirək. Birinci tənliyi elə bir ədədə vuraq ki, sistemin ikinçi tənliyindən birincini çıxdıqda x₁ - in əmsalı sıfra çevrilsin. Bunu digər tənliklərlə də etdikdən sonra nəticədə birinci sütunun baş diaqonaldan aşağıda yerləşən bütün elementləri sıfra çevrilər.Sonra ikinci tınliyi istifadə etsək, ikinci sütunun baş diaqonaldan aşağıda yerləşən bütün elementləri sıfra çevrilər. Prosesi bu qayda ilə davam etdirsək,sistemin matrisini yuxarı üçbucaq (və ya aşağı üçbucaq ) şəklinə gətirərik.
Qauss üsulunun realizəsi üçün sayda toplama və sayda vurma əməlləri lazım olur. Tərs gediş isə sayda əməliyyat tələb edir. Onda ümumi əməl-lərin sayı olar.
Birbaşa üsullar, ümumiyyətlə desək, dəqiq həll verir, lakin yuvarlaqlaşdırma xətası ucbatından o tapıla bilmir. Bununla əlaqədar olaraq iterasiyalı üsullar birbaşa üsullara nəzərən bəzən həlli daha böyük dəqiqliklə tapmağa imkan verirlər.
II. Qovma üsulu - xətti tənliklər sisteminin birbaşa həll üsullarına aiddir və
Qauss üsulunun xüsusi halıdır.
Bu üsul xətti tənliklər sisteminin matrisi üçdiaqonallı şəklə malik olduqda tətbiq olunur. Belə sistemlərdə yalnız baş diaqonal, və ondan aşağı və yuxarıda yerləşən diaqonallardakı elementlər sıfra bərabər olmur. Bu cür sistemlərə adi və xüsusi törəməli diferensial tənliklərin sonlu fərqlər üsulu ilə həlli məsələsi, splayn-interpolyasiya haqqında məsələ və s. gətirilir.
Qovma üsulunun tətbiqində aşağıdakı mərhələləri ayırmaq olar:

1. 
   Üçdiaqonallı matrisin yuxarı üçbucaq şəklinə gətirilməsi (düz gediş). Üçdiaqonallı matris halında bu ikidiaqonallı şəklə gətirmə deməkdir, yəni ilkin sistemi hər tənlikdə 2 məchul olan sistem halına gətirmək (sonuncu tənlikdən başqa, belə ki, onda yalnız bir məchul var).
   
2. 
   Tərs gedişin şəklində yazılışı, belə ki, çevrilmiş matris-ikidiaqonallıdır.
   
3. 
   və üçün və - lərlə rekurrent düsturların çıxarılması və və üçün münasibət alınması.
   
4. 
   Qovma üsulunun tərs gedişinin həyata keçirilməsi və bütün məchulların tapılması.
   

Baxılan qovma üsulu Qauss üsulunun modifikasiyasıdır. Üçdiaqonallı matrisli xətti tənliklər sistemini
(2)

şəklində yazaq.
(2) yazılışı kanonik şəkil adlanır. Bu halda (2) sisteminin matrisi

şəklindədir.
Qovma üsulunun düz gedişi sistemin hər bir tənliyində - i yox etməyə gətirilir. Düz gediş nəticəsində alınan sistem hər bir tənlikdə yalnız iki və məchulları saxlayır, onun matrisi isə iki diaqonallı yuxarı üçbucaq matrisdir.
Çevrilmiş ikidiaqonallı matrisin - ci sətrini
(3)
şəklində yazaq. (3) – ü üçün yazaq:

Bu qiyməti (2) - də yazsaq alarıq:

Buradan

Sonuncunu (3) ilə müqayisə etsək, qovma əmsallarını
(4)
hesablamaq üçün rekurrent düsturlar alarıq.
Düz gedişin başlanması üçün qovma əmsallarının başlanğıc qiymətlərini vermək lazımdır. Qeyd edək ki, ümumiyyətlə desək, baxılan sxemdə başlanğıc qiymətləri tələb olunmur, belə ki, qiymətləri yalnız (2) sisteminin əmsalları ilə hesablanır: olduqda (2) - dən

alırıq. (2) – də yazsaq

Buradan

alırıq və tərs gedişdə qiyməti ilə hesablanır. və - in başlanğıc qiymət kimi hesablanması iki səbəbə görə əhəmiyyətlidir: 1) bütün lər üçün hesablama alqoritminin bircinsliliyi saxlanılır; 2) qovma üsulunun dayanıqlıq və korrektliyi şərtinin isbatı sadələşir.
Tərs gedişin başlanması üçün yəni qiymətinin hesablanması üçün qiymətini vermək zəruridir. Belə ki, olduğundan (4) - ün birinci münasibətindən çıxır ki, və beləliklə, üçün ixtiyari qiyməti vermək olar. Adətən götürülür və onda olur.
Beləliklə,

məsələsindən ardıcıl olaraq bütün - lər tapılır (tərsinə qovma).
Qovma üsulu olduqda dayanıqlıdır.
Qovma üsulu olduqda korrektdir.
Qovma üsulunun dayanıqlığı və korrektliyi üçün kafi şərt:

Doğrudan da, heç olmazsa bir qiyməti üçün bərabərsizliyi ödənirsə, onda

Göstərildiyi kimi götürmək olar və onda birincisi, bütün lər üçün və ikincisi, bütün lər üçün şərti ödənir və beləliklə də sıfra bölmə vəziyyəti yaranmır. Qovma üsulunun realizəsi üçün sayda əmə-liyyat tələb olunur: sayda vurma tipli, sayda toplama əməlləri.
Diferensial tənliklərin həlli zamanı qovma üsulunun müxtəlif variantlarından istifadə olunur: qarşı - qarşıya, dövrü və matris qovma (vektor tənliklər sistemi üçün) üsulları.