MÜHAZİRƏ 4 Cəbri və transendent tənliklərin köklərinin təklənməsi və dəqiqləşdirilməsi üçün parçanı yarıya bölmə üsulu
4.1. Cəbri və transendent tənliklərin köklərinin təklənməsi Qeyri - xətti tənlikləri iki sinfə bölmək olar: cəbri və transendent.
Cəbri tənlik –yalnız cəbri funksiyalar iştirak edən tənliklərə deyilir (tam, rasional, irrasional).
Transendent tənlik- triqonometrik, üstlü, loqarifmik funksiyalar iştirak edən tənliklərə deyilir.
Tutaq ki, qeyri - xətti
(1)
tənliyinin həlli axtarılır. Burada funksiyası sonlu və ya sonsuz intervalında təyin olunub.
Biz fərz edəcəyik ki, (1) - in yalnız izolə edilmiş kökləri var, yəni (1) tənliyi üçün onun başqa köklərini saxlamayan ətraf var.
(1) - in təqribi həllinin tapılması 2 mərhələdən ibarət olur:
1) Köklərin təklənməsi, yəni yalnız bir kökə malik parçalarının seçilməsi;
2) Təqribi köklərin dəqiqləşdirilməsi, yəni onların verilmiş dəqiqliyə qədər hesab-lanması.
Ümumi halda (1) - in köklərinin təklənməsi mərhələsi alqoritmləşdirilə bilmir. Bəzi sinif tənliklər üçün bu prosesi avtomatlaşdıran üsullar işlənmişdir.
Bəzi hallarda qeyri - xətti tənliyin köklərinin təklənməsi funksiyası üçün bütün informasiyalardan istifadə etməklə “əl ilə” hesablama ilə yerinə yetirilir.
Misal 1.
və aralıqlarında tənliyin 2 həqiqi kökü var. Çünki
Misal 2. Qeyri-xətti tənliyin köklərini təkləyin.
olduğundan aralığında tənliyin 1 kökü var.
Köklərin təklənməsi üçün qrafiki üsuldan da istifadə olunur. Bu zaman (1) tənliyini ekvivalent şəklində göstərmək və və funksiyalarının qrafiklərinin kəsişmə nöqtələrinin absislərini tapmaq
lazım gəlir. Onlar veverilən tənliyin həlli olur.
Misal 3. funksiyalarının qrafiklərini qururuq. Qrafiklərin kəsiş-
mə nöqtələrinin absisləri verilmiş tənliyin həlli olur.
Qrqfiklər bir nöqtədə kəsişdiyindən tənliyin ədəd
oxunda yeganə həlli olur.
Bir sira hallarda aşağıdakı məlum teoremdən istifadə etmək əlverişli olur.
Teorem. Əgər tənliyini təyin edən funksiyası parçasının uclarında müxtəlif işarəli qiymətlər alırsa, yəni - dırsa, onda parçasında bu tənliyin heç olmazsa bir kökü var. Əgər funksiyası kəsilməz və differensiallanandırsa və - nin daxilində törəməsi işarəsini sabit saxlayırsa, onda bu parçada (1) tənliyinin yeganə həlli var.
İntervalın uclarında funksiya eyni işarəli qiymətlər alırsa, onda bu intervalda ya köklər yoxdur, ya da onlar cüt saydadır.
Köklərin tapılmasının 2 - ci dəqiqləşdirmə mərhələsində iki növ üsullar istifadə olunur: birbaşa və iterasiyalı üsullar.
