Mühazirə 1 Xətalar, onların növləri, yaranma mənbələri və hesablanma qaydaları

Dixotomiya üsulunun xətası

münasibəti ilə hesablanır. Bu münasibət onu göstərir ki, artıqca xəta məxrəci olan həndəsi silsilədən yavaş olmayaraq sıfra yaxınlaşır.
Dixotomiya üsulu sadə və etibarlıdır, yavaş da olsa həmişə yığılır, yuvarlaq-laşdırma xətasına dayanıqlıdır, lakin bu üsul tənliklər sistemi halına genişləndirilmir.
MÜHAZİRƏ 5
Sadə iterasiya üsulu və onun xətası.Yığılma üçün kafi şərt


5.1. Sadə iterasiya üsulunun alqoritmi
tənliyinin kökünün dəqiqləşdirilməsi üçün sadə iterasiya üsulundan istifadə edərkən o
(1)
ekvivalent tənliyi ilə əvəz olunur. Bu onu göstərir ki, - dan alınır və tərsinə.
tənliyini (1) şəklinə çoxlu sayda üsullarla
gətirmək olar, məsələn, götür-
mək olar, burada ixtiyari sabit işarəli kəsil-
məz funksiyadır.
Həndəsi olaraq köklərin təkləndiyi interval-
da (1) tənliyi iki kəsişən və xətləri
şəklində göstərilir. kökü üçün başlanğıc
yaxınlaşmasının verildiyini fərz etsək iterasiya prosesini
(2)
şəklində qurarıq. Əgər bu proses yığılırsa, yəni varsa, onda (2) - də limitə keçsək ( - kəsilməzdir), alarıq

Deməli, (1) tənliyinin həllidir.


5.2. Üsulun yığılması. Yığılma üçün kafi şərt

Əgər kəsilməz törəməyə malikdirsə, onda Laqranjın sonlu artım haqqında teoreminə əsasən

(3)
alınır ki, nöqtəsi və nöqtələri arasında yerləşir. Ona görə də əgər hər yerdə olarsa, onda parçaları məxrəci olan həndəsi silsilədən yavaş olmayaraq azalırlar. Doğrudan da (3) - dən rekurrent düstur kimi alırıq ki,

və ardıcıllığı ixtiyari başlanğıc yaxınlaşma üçün yığılır. Beləliklə,
(4)
şərti iterasiyaların yığılması üçün kafi şərtdir.
Əgər olarsa, onda iterasiyalar yığılmaya da bilər. Əgər -dirsə, lakin kökdən (aralıda) uzaqda olarsa, onda iterasiyalar yığılır (əgər başlanğıc yaxınlaşma kökə kifayət qədər yaxın seçilibsə). Başlanğıc yaxınlaşma ixtiyari seçildikdə yığılma olmaya da bilər. Beləliklə, sadə iterasiya üsulunda başlanğıc yaxınlaşmanın seçilməsi mühümdür.

Şəkildə və xətlərinin qarşılıqlı vəziyyətinin 4 halı və onlara uyğun iterasiya prosesləri göstərilmişdir. a) və b) halları halına uyğundur – iterasiya prosesləri yığılır. Bu vaxt birinci a) halında və yığılma birtərəfli xarakter daşıyır.

b) halında isə və yığılma ikitərəfli xarakter daşıyır. v) və q) halları isə halına uyğundur və iterasiya prosesi dağılır ( v) – birtərəfli, q) – ikitərəfli dağılma).
Qeyd edək ki, (4) şərti yığılma üçün yalnız kafi şərtdir. Bu zaman bütün yaxınlaşmalar kökün təkləndiyi parçaya düşürlər. (4) şərtinin ödənməsi (2) prosesinin yığılmasını təmin edir, lakin onun ödənməməsi ümumən iterasiya prosesinin dağılan olması demək deyildir.
(3) və (4) – dən

alırıq, burada . Buradan alınır ki, iterasiya prosesinin yığılma sürəti dən asılıdır: nə qədər kiçik olarsa, yığılma bir o qədər tez olur.
Teorem. Tutaq ki, funksiyası də təyin olunub və diferensiallanandır və . Əgər elə ədədi varsa ki, onda: 1) başlanğıc yaxınlaşmasının seçilməsindən asılı olmayaraq (2) iterasiya prosesi yığılır; 2) qiyməti (1) tənliyinin yeganə həllidir.
Teoremin isbatı. və yaxınlaşmalarına baxaq. Buradan

Laqranj teoreminə görə

onda
(5)
və
(6)
olur. Aşağıdakı sıraya baxaq:
(7)
ardıcıl yaxınlaşmaları (7) sırasının - ci xüsusi cəmləridir, yəni

(6) – ya əsasən (7) sırasının hədləri mütləq qiymətcə vuruğu olan həndəsi silsilənin uyğun hədlərindən modulca kiçikdir, ona görə də (7) sırası mütləq yığılır. Deməli,
və dir.
bərabərliyində limitə keçsək, - in kəsilməzliyinə əsasən alarıq:

Göstərmək olar ki, bu həll yeganədir. Doğrudan da əgər də bu tənliyin həllidirsə , onda

Buradan alırıq.
Qeyd 1. Əgər funksiyası sonsuz intervalında təyin olunubsa və diferensiallanandırsa, olduqda ödənirsə, onda teorem yenə də doğrudur.