Mühazirə 1 Xətalar, onların növləri, yaranma mənbələri və hesablanma qaydaları

6.1. Nyuton üsulu və onun yəğılması
Qeyri - xətti tənliyinin həllinə baxırıq. Tutaq ki, bu tənliyin həllidir və funksiyası II tərtib kəsilməz törəməyə malikdir. Hər hansı ci yaxınlaşması taparaq, onu Nyuton üsulu ilə aşağıdakı kimi yaxınlaşdıra bilərik:
(1)
burada kiçik kəmiyyətdir. - ni Teylor sırasına ayıraq:

Onda (1) - dən
(2)
Nyuton üsulu şərtini ödəyən ucdan
tətbiq olunur.
Həndəsi olaraq bunu -in müəyyən
qövsünün qrafikinə çəkilmiş toxunanla əvəz edil-
məsi kimi izah etmək olar.

Doğrudan da nöqtəsində əyriyə çəkilmiş toxunanın tənliyi olur. Əgər götürsək alırıq:

Qeyd 1. Əgər törəməsi - də az dəyişirsə, onda və

Nyuton üsulunun yığılması üçün kafi şərti sadə iterasiya üsulu üçün uyğun şərtdən almaq olar. və (2) münasibətlərini tutuşdursaq, Nyuton üsulunun olduqda sadə iterasiya üsulunun xüsusi halı olduğunu demək olar.
Onda sadə iterasiya üsulu üçün yığılma şərtindən və
(3)
ifadəsindən Nyuton üsulunun yığılması üçün

kafi şərtini alırıq. iterasiya prosesi başlanğıc yaxınlaşma üçün kökün dəqiq qiymətinə yığılır.
Nyuton üsulunun yığılma sürətini qiymətləndirək.
(4)
nı Teylor sırasına ayıraq:

Bu ayrılışı (4) - də yazsaq və olduğunu nəzərə alsaq

alarıq. Bu onu göstərir ki, kökün yaxınlığında üsul II tərtib yığılmaya malikdir.
Nyuton üsulu biraddımlı üsuldur və sistem halına genişləndirilə bilir. Lakin olan oblastlarda Nyuton üsulu dağılır. Bundan başqa, əgər funksiyası cədvəl şəklində verilibsə, onda - in hesablanması çətinləşir. Göstərilən çətinlik vətərlər üsulunda aradan qaldırılır.
(2) - dən görünür ki, Nyuton üsulunda hər iterasiyadakı hesablamaların sayı baxdığımız üsullara nəzərən çoxdur. Çünki hər addımda həm - in, həm də -in qiymətini hesablamaq lazım gəlir. Lakin onun yığılma sürəti digər üsullardan daha yüksəkdir.
Teorem. Tutaq ki, tənliyinin həllidir, və kəsilməzdir. Onda kökünün elə ətrafı var ki , əgər başlanğıc yaxınlaşması bu ətrafa daxildirsə, onda Nyuton üsulu üçün ardıcıllığı olduqda -yə yığılır. Bu zaman xətası üçün

münasibəti doğrudur.
Faktiki olaraq bu onu göstərir ki, hər iterasiyada xəta kvadrata yüksəldilir, yəni kökün doğru rəqəmlərinin sayı iki dəfə artır. Əgər

olarsa, onda asanlıqla göstərmək olar ki, olduqda 5 - 6 iterasiyadan sonra xəta tərtibli kəmiyyət olur. Dixotomiya üsulunda belə kiçik xətanın alınması üçün 50 - yə qədər iterasiya tələb olunardı.
Nyuton üsulunda əsas çətinlik başlanğıc yaxınlaşmanın seçilməsi ilə bağlıdır, Belə ki, o oblastına daxil olmalıdır. Ona görə də bəzən qarışıq alqoritmdən istifadə etmək məqsədəuyğun olur: əvvəlcə həmişə yığılan dixotomiya üsulu, bir neçə iterasiyadan sonra tez yığılan Nyuton üsulu tətbiq olunur.
6.2. Vətərlər üsulu
tənliyinin həlli axtarılır, belə ki, . Müəyyənlik üçün fərz edək ki, .
- ni yarıya bölmək əvəzinə onu
nisbətində bölək. Bu bizə kökün təqribi
(1)
qiymətini verir. Burada

(2)

Sonra bu prosesi və ya parçalarından birinə tətbiq edirik və II ya -

xınlaşmanı tapırıq və s. Deməli,

(3)

Vətərlər üsulu

toxunanlar üsulundan törəməsini iki ardıcıl və yaxın-laşmalarına görə

kimi hesabladıqda alınır.
Həndəsi olaraq və nöqtələrindən keçən düz xəttin tənliyini yazıb
,
burada götürsək, (3) - ü alarıq.
Qeyd edək ki, vətərlər üsulunda hər iterasiyada - i hesablamaq tələb olunmur və bu da hesablamaların həcminin xeyli azalmasına səbəb olur. Bu üsul ikiaddımlı üsuldur, belə ki, I iterasiyada hesablama üçün həm , həm də - i bilmək lazımdır.
2 hal mümkündür ( sabit işarəlidir və ).
1) . Bu halda ucu tərpənməzdir və

ardıcıl yaxınlaşmaları monoton artan məhdud ardıcıllıq əmələ gətirirlər:
.
2) Bu halda ucu tərpənməzdir və

ardıcıl yaxınlaşmaları monoton azalan məhdud ardıcıllıq əmələ gətirirlər:
.
Deməli, tərpənməz uc nöqtəsi şərtindən seçilir, bu ya , ya da olur.
Vətərlər üsulunun yığılma şərti Nyuton üsulunun yığılma şərtinə analojidır. Vətərlər üsulunun yığılma tərtibi

münasibəti ilə təyin olunur. Burada , kimi təyin olunur.