Mühazirə 1 Xətalar, onların növləri, yaranma mənbələri və hesablanma qaydaları

7.3. Nyuton üsulu

Sadəlik üçün halına baxaq:

(1)
Burada və kəsilməz diferensiallanan funksiyalardır. (1) sistemi üçün başlanğıc yaxınlaşmasını seçək və
(2)
götürsək (burada və - kifayət qədər kiçik ədədlərdir), onda alarıq:

və -i nöqtəsi ətrafında Teylor sırasına ayıraq və ilk 3 hədlə kifayətlənək:

Əgər olarsa, onda
Beləliklə, və nın tapılmış qiymətlərini (2) - də nəzərə alsaq və - i taparıq.
- başlanğıc yaxınlaşması təqribi olaraq təyin edilir. - Yakobian adlanır.


7.4. Sıxılmış inikas prinsipinin tətbiqi

Tutaq ki,

(1)

qeyri - xətti sistemi verilmişdir. funksiyaları ölçülü fəzasının oblastında təyin olunmuş və kəsilməz funksiyalardır. qiymətləri müəyyən bir oblastını doldururlar. (1) sistemi - nin - ə inikasını qurur.

işarə edək, onda (1) -i
(2)
şəklində yazmaq olar.
fəzasında kanonik normasını daxil edək. Məsələn,

götürmək olar. (1) və ya (2) inikası oblastında o vaxt sıxan adlanır ki, elə düzgün kəsri olsun ki, istənilən üçün onların və obrazları
(3)
şərtini ödəsinlər, yəni
(4)
Qeyri - xətti
(5)
tənliyinə baxaq. Əgər bu sistemin həlli varsa, onda 0 (1) çevirməsinin tərpənməz nöqtəsidir. - u tapmaq üçün
(6)
iterasiya prosesini quraq, .
Teorem 1. Tutaq ki, oblastı qapalıdır və (1) inikası - də sıxandır, yəni (3) şərti ödənir. Əgər (6) iterasiya prosesi üçün bütün -lər olarsa, onda:
1) başlanğıc yaxınlaşmasının seçilməsindən asılı olmayaraq (6) iterasiya prosesi yığılır, yəni
(7)
2) limit vektoru (5) vektor tənliyinin yeganə həllidir ( oblastında);
3) aşağıdakı qiymətləndirmə doğrudur:
(8)
Aşağıdakı normaları daxil edək:
(9)
(10)
burada
(11)
(12)
Teorem 2. Tutaq ki, və -də kəsilməzdirlər və -də
(13)
ödənir. Əgər
(14)
ardıcıl yaxınlaşmaları oblastından kənara çıxmırsa, onda (14) iterasiya prosesi yığılır və

limit vektoru oblastında (1) sisteminin yeganə həllidir.
Teorem 3. Tutaq ki, və vektor – funksiyaları qapalı məhdud qabarıq oblastında kəsilməzdirlər və

ödənir. Əgər və bütün
(15)
ardıcıl yaxınlaşmaları - də yerləşərsə, onda (15) iterasiya prosesi
(16)
tənliyinin oblastındakı yeganə həllinə yığılır.