Mühazirə 1 Xətalar, onların növləri, yaranma mənbələri və hesablanma qaydaları

MÜHAZİRƏ 3
Xətti tənliklər sisteminin həlli üçün iterasiya üsulları.
Yığılma üçün kafi şərtlər. İterasiya prosesinin yaxınlaşmaları xətasının qiymətləndirilməsi


3.1. Xətti tənliklər sisteminin həlli üçün sadə iterasiya və Zeydel üsulları

Xətti tənliklər sisteminin məchulları sayı kifayət qədər çox olduqda dəqiq həll verən Qaus üsulunun tətbiqi çox çətin olur. Ona görə də iterasiyalı üsulların tətbiqi zəruri olur.

İterasiya üsullarında 3 mərhələnin həyata keçirilməsi fərz olunur:

1. 
   hesablama üçün iterasiya prosesinin dəqiq həllə yığılan ardıcıl yaxınlaşmalar ardıcıllığının qurulması;
   
2. 
   bu prosesin tələb olunan dəqiqliyinin tapılması anını təyin etməyə imkan verən yığılma kriteriyasının təyini;
   
3. 
   tələb olunan dəqiqliyə çatmaq üçün lazımi əməliyyatların azaldılması məqsədilə iterasiya prosesinin optimallaşdırılması və yığılma sürətinin tədqiqi.
   

İterasiyalı üsullar həlli qabaqcadan verilmiş dəqiqliklə tapmağa imkan verirlər. Onlar dəqiq həlli vermirlər, belə ki, onlar vektorlar ardıcıllığının limiti kimi tapılır.
I. Sadə iterasiya üsulu. Tutaq ki,
(1)
xətti tənliklər sisteminə baxılır.
Fərz edək ki, .
(2)
burada

və
işarələri daxil etsək (2) sistemini
(3)
şəklində yazmaq olar.
Sıfırıncı yaxınlaşma olaraq qəbul edirik.
I yaxınlaşma:
Əgər (1) – sisteminin həllidir.
Əks halda II yaxınlaşma tapılır:

Əgər həlldir və s. ümumiyyətlə ci yaxınlaşma:
(4)
Teorem. Əgər yaxınlaşmalar ardıcıllığı limi-
tinə malikdirsə, onda bu limit (1) sisteminin həllidir.
Isbatı: Doğrudan da (4) - də şərtilə limitə keçsək,

alarıq. Yaxınlaşmalar düsturlarını açıq şəkildə yazaq:

Qeyd 1. Bəzən (1) sistemini (2) şəklinə elə gətirmək olar ki, olsun. Məsələn,

sistemi üçün götürmək olar. Onda verilmiş sistem

sisteminə ekvivalent olur. Burada
olduqda.
Qeyd 2. Başlanğıc vektoru iterasiya prosesində ixtiyari götürülə bilər.
II. Zeydel üsulu iterasiya üsulunun müəyyən modifikasiyasıdır. Burada üçün - ci iterasiya tapılarkən məchullarının artıq tapılmış ci yaxınlaşmaları nəzərə alınır:

Qeyd 3. Adətən Zeydel üsulu iterasiya üsuluna nəzərən daha yaxşı yığılma verir.
Qeyd 4. İterasiya üsulu dağılan olduqda Zeydel üsulu yığıla bilər (lakin bu həmişə olmur), bunun tərsi də ola bilər.