Mühazirəçi: baş müəllim G. N. Əliyeva Ədəbiyyat

Parametrik şəkildə verilmiş funksiyanın törəməsi

Bəzən x və y dəyişənləri arasındakı asılılıq

(burada t- parametrdir) (1)

şəklində verilir.Bu zaman deyirlər ki, funksiya parametrikşəkildə verilmişdir.Buna ən çox mexanikada rast gəlinir. ilə zaman qeyd olunur.(1) tənliyi isə hərəkət edən nöqtəsinin trayektoriyasının parametrik şəkildə tənliyidir.(1)tənliyində y funksiyası x-dən asılı mürəkkəb funksiyadır.(1) sisteminin birinci tənliyini x-ə görə həll edərək alırıq:

, funksiyası funksiyasının tərs funksiyasıdır.Burada (1) tənliyindən alırıq:

(2)

(2) düsturundan istifadə edərək törəməsini ala bilərik.

Əgər -dən asılı funksiyası parametrik şəkildə verilmişdirsə

; burada və funksiyaları diferensiallanan funksiyalardır ; , onda bu funksiyanın törəməsi aşağıdakı düsturdan tapılır:

Misal 1.Aşağıdakı parametrik şəkildə verilmiş funksiyaların törəməsini tapın.

Həlli. (3) düsturundan istifadə edək.

Mövzu13

Funksiyanın tədqiqi. Funksiyanın artması və azalması

1. 
   Funksiyanın artması və azalması
   
2. 
   Birdəyişnli funksiyanın ekstemumu
   
3. 
   Ekstremumun varlığının zəruri şərti
   
4. 
   Ekstremum varlığının kafi şərti
   
5. 
   Əyrinin qabarıq və çöküklüyü. Əyilmə nöqtəsi
   
6. 
   Asimptotlar
   
7. 
   Funksiyanm tədqiqi və qrafıkinin qurulmasının ümumi sxemi
   

Teorem. 1) parçasında törəməsi olan funksiyası həmin parçada artandırsa, onda parçasında onun törəməsi mənfi de­yil, yəni, ;

2) Əgər funksiyası parçasında kəsilməz, interva­lında isə diferensiallana biləndirsə və olarsa, onda həmin funk­siya parçasında artandır.

İsbatı. Əvvəlcə teoremin birinci hissəsini isbat edək. Tutaq ki, funksiyası parçasında artır. x arqumentinə x artımı verib

(1)

nisbətini düzəldək. f(x) artan funksiya olduğundan

x > 0 olduqda

və

x < 0 olduqda isə .

Hər iki halda

(2)

və deməli,

,

yəni olur.

İndi teoremin ikinci hissəsini isbat edək. Tutaq ki, arqumentin intervalından götürülmüş ixtiyari x qiymətində .

parçasında yerləşən istənilən və götürək. Laqranjın sonlu fərqlər teoreminə görə

, .

Şərtə görə olduğundan . Bu isə o deməkdir ki, artan funksiyadır.

Azalan (diferensiallana bilən) funksiya üçün də oxşar teorem doğrudur.

Teorem. Əgər funksiyası parçasında azalandırsa, onda həmin parçada . Əgər intervalında olarsa, onda funksiyası parçasında azalandır.

Birdəyişnli funksiyanın ekstemumu

Maksimumun tərifi. nöqtəsinin daxil olduğu hər hansı intervalın bütün nöqtələrində funksiyasının qiyməti onun nöqtəsindəki qiymətindən kiçik olduqda deyirlər ki, funksiyasının nöqtəsində maksimumu var. Başqa sözlə, mütləq qiymətcə kifayət qədər kiçik olan istənilən (müsbət və ya mənfi) x üçün olduqda deyirlər ki, nöqtəsində funksi- yasının maksimumu var.

Minimumun tərifi. Mütləq qiymətcə kifayət qədər kiçik olan istənilən (müsbət və ya mənfi) x üçün olarsa, onda deyirlər ki, funksiyasının nöqtəsində minimumu var.

Funksiyanın maksimumu və minimumuna birlikdə funksiyanın

ekstremumları deyilir.

Teorem 1 (ekstremumun varlığının zəruri şərti). Əgər diferensiallana bilən funksiyasının nöqtəsində ekstremumu varsa, onda həmin nöqtədə funksiyanın törəməsi sıfra çevrilir, yəni .

İsbatı. Müəyyənlik üçün fərz edək ki, nöqtəsində funksiyanın maksimumu var. Onda arqumentin mütləq qiymətcə kifayət qədər kiçik artımlarında

,

yəni

olar. Belə olduqda isə

nisbətinin işarəsi x artımının işarəsi ilə təyin olunar, yəni

x < 0 olduqda

x > 0 olduqda

olar. Törəmənin tərifinə əsasən

Əgər funksiyasının nöqtəsində törəməsi varsa, onda bu bərabərliyin sağ tərəfində duran limit x artımının sıfra necə yaxınlaş­masından (müsbət və ya mənfi qalaraq) asılı deyil.

Digər tərəfdən x artımı mənfi qalmaqla sıfra yaxınlaşarsa, onda olur. Əgər x artımı müsbət qalmaqla sıfra yaxınlaşarsa, onda olmalıdır.

x artımının sıfra yaxınlaşma qaydasından asılı olmayaraq müəyyən bir ədəd olduğundan axırıncı iki bərabərsizlik yalnız

olduqda uyuşan olar.

Minimum halı üçün də teoremin isbatı analoji qaydada aparılır.

Teorem 1-dən bilavasitə aşağıdakı nəticə alınır: x arqumentin baxılan bütün qiymətlərində funksiyasının törəməsi varsa, onda yalnız törəmənin sıfır olduğu nöqtələrdə funksiyanın ekstremumu ola bilər. Bu fikrin tərsi doğru deyil: törəmənin sıfır olduğu hər bir nöqtədə funksiyanın maksimumu və ya minimumunun olması zəruri deyil.

Qeyd edək ki, əgər funksiyanın hər hansı nöqtədə törəməsi yoxdursa (lakin yaxın nöqtələrdə var), onda həmin nöqtədə törəmə kəsiləndir.

Törəmənin sıfra çevrildiyi və ya kəsildiyi nöqtələrə həmin funk­siyanın böhran nöqtələri deyilir.

Yuxarıda deyilənlərdən görünür ki, hər bir böhran nöqtəsində

funksiyanın maksimumu və ya minimumunun olduğunu düşünmək düzgün deyildir. Lakin hər hansı bir nöqtədə funksiyanın maksimumu və ya minimumu varsa, onda həmin nöqtə böhran nöqtəsidir. Ona də görə funksiyaların ekstremumlarını axtaranda: əvvəlcə bütün böhran nöqtələri tapılır, sonra hər bir böhran nöqtəsi ayrıca araşdırılaraq, həmin nöqtədə maksimum və ya minimumun olduğu, yaxud da nə maksimumun və nə də minimumun olmadığı aydınlaşdırılır.

Teorem 2 (ekstremum varlığının kafi şərti). Tutaq ki, funk­siyası nöqtəsinin daxil olduğu hər hansı bir intervalda kəsilməzdir və intervalın bütün nöqtələrində ( nöqtəsi istisna ola bilər) diferensiallana biləndir. Əgər soldan sağa bu nöqtədən keçəndə törəmənin işarəsi müsbətdən mənfiyə dəyişirsə, onda nöqtəsində funksiyanın maksimumu var. Əgər soldan sağa həmin nöqtəsindən keçəndə törəmənin işarəsi mənfidən müsbətə dəyişirsə, onda həmin nöqtədə
funksiyanın minimumu vardır.

Beləliklə,

a) əgər olduqda , oluqda isə olarsa, onda nöqtəsində funksiyanın maksimumu var;

b) əgər olduqda , olduqda isə olarsa, onda nöqtəsində funksiyanın minimumu var. Bu halda nəzərə almaq lazımdır ki, a) və ya b) şərti x arqumentinin ədədinə yalnız kifayət qədər yaxın olan qiymətlərində, yəni böhran nöqtəsinin kifayət qədər kiçik ətrafının bütün nöqtələrində ödənilməlidir.

Teorem 3 (ekstremum varlığının ikinci kafi şərti). Tutaq ki, onda olarsa, funksiyanın nöqtəsində maksimumu, olduqda isə həmin nöqtədə minimumu var.

Əyrinin qabarıq və çöküklüyü. Əyilmə nöqtəsi

Müstəvi üzərində birqiymətli diferensiallanan funksiyasının qrafiki olan əyrisinini nəzərdən keçirək.

Tərif 1. Əyrinin intervalına daxil olan bütün nöqtələri bu intervalda əyriyə çəkilən istənilən toxunandan aşağıda yerləşərsə, deyirlər ki, intervalında əyrinin qabarıqlığı yuxarıya doğrudur.

Tərif 2. Əyrinin intervalına daxil olan bütün nöqtələri bu intervalda əyriyə çəkilən istənilən toxunandan yuxarıda yerləşərsə, deyirlər ki, intervalında əyrinin qabarıqlığı aşağıya doğrudur.

Əyrinin qabarıqlığı yuxarıya doğru olduqda ona qabarıq əyri, aşağıya doğru olanda isə çökük əyri deyəcəyik.

Teorem 1. intervalının bütün nöqtələrində funksiyasının ikinci tərtib törəməsi mənfidirsə , onda əyrisi bu intervalda qabarıqdır.

Teorem 2. Əgər in­tervalının bütün nöqtələrində funksiyasının ikinci tərtib törəməsi müsbətdirsə , onda əyrisi bu intervalda çökükdür.

Tərif 3. Kəsilməz əyrinin qabarıq hissəsini çökük hissəsindən ayıran nöqtəyə onun əyilmə nöqtəsi deyilir.

Aydındır ki, əyilmə nöqtəsində toxunan əyrini kəsir, çünki bu nöqtədən bir tərəfdə əyri toxunandan aşağıda, digər tərəfdə isə yuxarıda yerləşir.

Teorem 3. Tutaq ki, əyri tənliyi ilə verilmişdir və , yaxud yoxdur, yəni a nöqtəsində ikinci tərtib törəmə yoxdur. Əgər x ₌ a nöqtəsindən keçəndə törəməsi öz işarəsini dəyişirsə, onda əyrinin bu nöqtəsi əyilmə nöqtəsidir.

Asimptotlar

Bir çox hallarda dəyişən nöqtənin absisinin, yaxud ordinatının və ya həm absisinin, həm də ordinatının birlikdə qeyri-məhdud artdığı (mütləq qiymətcə) yerlərdə əyrisinin formasını və deməli uyğun funksiyanın dəyişməsinin xarakterini tədqiq etmək lazım gəlir. Burada isə vacib xüsusi hal, dəyişən nöqtənin sonsuzluğa getməsi (yaxınlaşması) ilə həmin əyrinin müəyyən bir düz xəttə sonsuz yaxınlaşmasıdır .

Tərif. Əyri üzərindəki M dəyişən nöqtəsi sonsuzluğa yaxınlaşarkən, həmin M nöqtəsindən A düz xəttinə qədər olan d məsafəsi sıfıra yaxınlaşarsa, onda A düz xəttinə həmin əyrinin asimptotu deyilir (şəkil 18).

Ordinat oxuna paralel olan asimptotlara şaquli, ordinat oxuna paralel olmayan asimptotlara maili asimptotlar deyilir.

I. Şaquli asimptotlar. Asimptotun tərifinə əsasən düz xətti əyrisinin asimptotudursa, onda

, və ya ,

yaxud

münasibətlərindən biri ödənilməlidir və əksinə, həmin münasibətlərdən biri ödənildikdə düz xətti asimptotdur.

Deməli, şaquli asimptotları tapmaq üçün elə qiymətlərini tapmaq lazımdır ki, x bu qiymətlərə yaxınlaşdıqda funksiyası sonsuzluğa yaxınlaşsın. Bu halda düz xətti şaquli asimptot olar.

II. Maili asimptotlar. Tutaq ki, düz xətti əyrisinin maili asimptotudur.

Tərif. düz xəttinin şərtində əyrisinin maili asimptotu olması üçün

və ya

, ()

şərtinin ödənilməsi zəruri və kafi şərtdir.

Teorem. düz xəttinin şərtində əyrisinin maili asimptotu olması üçün

və

limitlərinin ikisinin də varlığı zəruri və kafi şərtdir.

olduqda , yəni olduqda maili asimptot üfüqi asimptota çevrilir. Üfüqi asimptot maili asimptotun xüsusi halıdır.

Parabola, cub parabola və sinusoidanın asimptotu yoxdur. Üstlü , loqarifmik funksiyaların bir asimptotu var. Arctangens və arccotangensin iki, tangens və cotangensin sonsuz sayda asimptotu var.