Mühazirələr Orta İxtisas Təhsil müəssisələrində fənnin tədrisi üçün nəzərdə tutulub

Kafiliyin isbatı. Tutaq ki, elementar dizyunksiya hansısa dəyişəni və onun inkarını

özündə saxlayır.


^{xi  x}i ^1

olduğundan butun elementar dizyunksiya eyniliklə doğru

olacaqdır. Elementar dizyunksiyaların eyniliklə doğruluq kriterisi məntiq cəbrinin istənilən düsturunun eynilklə doğru olması kriterisini söyləməyə və isbat etməyə imkan verir.

Teorem 2. Məntiq cəbrinin istənilən A düsturunun eyniliklə doğru olması üçün zəruri və kafi şərt A düsturunun KNF-sına daxil olan istənilən elementar dizyuksiyanın dəyişən və onun inkarını özündə saxlamasıdır.

Zəruriliyin isbatı. Tutaq ki, ^A eyniliklə doğru formuldur. Onda A -nın KNF-sı da

eyniliklə doğru olur. A -nın KNF-sı <sup>A  A1  A2 ...  An

şəklindədir, harada ki,</sup> A ⁽

i


^{i  1, n} )-elementar dizyunksiyalardır. KNF A ^ 1 olduğundan,

^A_i ^ 1,

i  1, n

olur. Onda

teorem 1-ə əsasən hər bir elementar saxlayır.

^A_i dizyunksiyası dəyişən və onun inkarını özündə

Kafiliyin isbatı. Tutaq KNF A -ya daxil olan elementar

A_{i ,}

i  1, n

dizyunksiyalarının hanısı dəyişənləri və onların inkarını özündə saxlayır. Onda terem 1-

ə əsasən

^A_i ^ 1,


^{i  1, n} .Odur ki, KNF A ^ 1 olar.

Misal.

araşdıraq.

A  y 


y  x  x  y

məntiqi düsturunun eyniliklə doğru olub olmadığını

A  ( y  y)  ( y  x)  (x  y) 


 ( y  x)  (x  y)  ( y  x  x)  ( y  x  y)

olduğundan, ^A -nın KNF-sına daxil olan hər bir




y  x  x _və

y  x 






^y , elementar

dizyunksiyası dəyişən və onun inkarını özündə saxlayır. Deməli ^{A } 1 eynigüclülüyü doğrudur. .

Anaioji qayda ilə məntiq cəbrinin elementar konyuksiyası və istənilən düsturu üçün eyniliklə yalan olması kriterisini söyləmək olar.

Teorem 3. Elementar konyunksiyanın eyniliklə yalan olması üçün zəruri və kafi şərt onun ifadəsində dəyişən və onun inkarının iştirak etməsidir.

Teorem 4. Məntiq cəbrinin A düsturunun eyniliklə yalan olması üçün zəruri və kafi şərt ^A -nın DNF-sına daxil olan istənilən konyunksiyanın hər hansı dəyişənin özü və inkarını saxlamasıdır.

6. Predikatlar məntiqi. Predikatlar üzərində məntiq əməlləri. Predikatlar məntiqinin düsturu

Bir və ya bir neçə məchul daxil olan və məchulların konkret qiymətlərində mülahizəyə çevirən cümlələrə “predikat” deyilir. Predikat [preadicatum] latın sözü olub, 1) xəbər, 2) obyekt haqqında söylənən fikirdə məntiqi xəbər mənasını verir. Predikatlar məntiqi, məntiqin ənənəvi formasında olduğu kimi elementar mülahizələri subyekt (cümlələrdəki mübtəda, bəzən isə tamamlıq rolu oynaya bilir) və predikat (cümlələrdəki xəbər, bəzən də təyin rolunu oynaya bilər) kimi hissələrə ayırır. Mülahizədə onun haqqında nə isə təsdiqlənirsə, o subyektdir; predikat isə odur ki, o fakt subyekt haqqında təsdiqlənir.

Məsələn, “7-sadə ədəddir” mülahizəsində “7” –subyekt, “sadə ədəddir”-isə predikatdır. Bu mülahizədə “7” ədədinin “sadə ədəd olması” təsdiq olunur.

Predikatlar biryerli, ikiyerli, üçyerli və s. olur. “x> 𝟕”, “5x< 𝟐𝟎”, “2x+1=12”, predikatları biryerli, “x+y=20”, “x+2=y” predikatları ikiyerli predikatlardır. Əgər predikata 3 dəyişən daxil olarsa, ona üçyerli predikat deyilir və s. Ümumiyyətlə, verilmiş hər hansı biryerli, ikiyerli, üçyerli və s. predikatlar uyğun olaraq P(x), P(x;y), P(x;y;z) və

s. ilə işarə edilir. Məsələn: “x> 𝟕” predikatı P(x), x∈ 𝑵 ilə, “x+2=y” predikatı P(x;y), (x;y) ∈ 𝑵 ilə işarə edilir.

Verilmiş hər hansı predikat aşağıdakı oblastlarla (çoxluqlarla) əlaqədar olur:

• Predikatın təyin oblastı

• 
  Predikatın doğruluq oblastı.
  

Predikata daxil olan məchulun predikatı mülahizəyə çevirdiyi, bütün qiymətləri çoxluğuna verilmiş predikatın təyin oblastı deyilir. Məsələn: P(x)= “x> 𝟕”, x∈ 𝑵 predikatının təyin oblastı natural ədədlər çoxluğudur. Doğurdanda x=1,2,3,...,n qiymətlərində P(x) predikatı mülahizəyə çevrilir.

Daxil olan məchulun predikatı doğru mülahizəyə çevirdiyi bütün qiymətlər çoxluğuna verilmiş predikatın doğruluq oblastı deyilir. Predikatın doğruluq oblastı, onun təyin oblastının alt çoxluğudur. Hər hansı predikatın təyin oblastını A, doğruluq oblastını B ilə işarə etsək, onda B ⊂A münasibətini yaza bilərik.

Mülahizələr hesabı mühakimələr çoxluğunun kiçik bir hissəsini formalaşdırmağa imkan verir. Məsələn, aşağıdakı mühakiməyə baxaq:

Bütün insanlar öləcək;

Sokrat insandır; (1) Deməli, Sokrat oləcək.

Bu mühakimə doğrudur, lakin mülahizələr məntiqi çərçivəsindən kənara çıxır. Onda 3 mülahizə var:

p: Bütün insanlar öləcək,

q: Sokrat insandır, (2) r: Sokrat öləcək.

Məntiqi bağlayıcılardan istifadə edərək, aşağıdakı düsturu yazmaq olar:

p  q r

Bu düstur ümumi əhəmiyyətli deyil. Beləliklə, mülahizələr məntiqi (2) mühakiməsini konkret şəkildə ifadə etməyə imkan vermir. Bu müvəffəqiyyətsizliyin səbəbi aşkardır. Mülahizələr məntiqi mülahizələri və mülahizələri əlaqələndirən bağlayıcıları modelləşdirir. Bu mənada mülahizə bölünməz obyektdir.

Eyni zamanda aydındır ki, təbii dildə mülahizə daxili struktura malikdir. Başqa sözlə desək, mülahizənin qiyməti ən azı birinci yaxınlaşmada onun komponentlərinin qiymətlərinin funksiyasıdır.

Predikatlar hesabının əsas elementlərinə dəyişənlər, fərdi (individ) sabitlər, predikat ^{sabitləri, məntiqi bağlayıcılar ,,,,  ,}  ^{-ümumilik (hamısı üçün) və} ^-mövcudluq

(bəziləri üçün) kvantorları daxildir. Mülahizələr dili predikatlar dilinə daxildir. Bu sıfır yerli (arqumentsiz) predikat sabitdir. İndivid sabitlərini funksional sabit kimi daha ümumi anlayışla əvəz edək. İndivid sabiti, sadəcə olaraq, sıfır yerli funksional sabitdir. Müəyyən sadə aralığa (yerə, arqumentə) malik funksional sabit predikat sabitdir.

Aşağıdakı leksikonu qəbul edək: x, y, z – dəyişənlər,

a, b, c – individ sabitlər,

f, g, h – funksional sabitlər, p, q, r – mülahizələr,

P, Q, R – predikat sabitləri.

Mülahizələr hesabında hər bir atomar (elementar) simvol (P, Q və s.) hər hansı mürəkkəblikli mülahizəni bildirir. Bu zaman ayrıca mühakimənin komponentlərinə çıxış almaq mümkün olmur. Predikatlar hesabı isə bu çıxışı mümkünlü edir.

Predikatlar hesabı deklarativdir, yəni hər bir ifadəyə baxış zamanı qəbul edilmiş ardıcıllıq və ya sinxronlaşdırma mövcud deyil.

Bir tərtibli predikatlar hesabı predmet sahəsinin obyektlərinə uyğun dəyişənləri kvantor ^{işarələri ilə əlaqələndirməyə imkan yaradır. Məsələn:}  ^(x).

Lakin aşağıdakı yazılmış bir tərtibli predikatlar hesabında düzgün qurulmuş ifadə deyil:

 ^{(x) X(Y, Z)}

Bu və ya digər tip ifadələr ancaq yüksək tərtibli predikatlar hesabında mənaya malikdirlər. Daxil etdiyimiz lüğət-term, forma və kvantlaşmaları, həmçinin, atom və düsturları təyin etməyə imkan verir. Indi uyğun qurma qaydalarını şərh edək:

• 
  İstənilən dəyişənə və istənilən funksional formaya “term” deyilir.
  
• 
  Müvafiq sayda termlərlə birləşən funksional sabitə funksional düstur (forma) deyilir.
  
• 
  Əgər f-n-yerli funksional sabitdirsə və 𝑡₁, 𝑡₂, … , 𝑡_𝑛 termlərdisə, onda uyğun funksional forma adətən f(𝑡₁, 𝑡₂, … , 𝑡_𝑛 ) ilə işarə olunur. Əgər n=0 isə, onda f() əvəzinə f yazılır.
  
• 
  Müvafiq sayda termlərlə birləşən predikat sabitə “predikat forma” deyilir. Əgər P- m-yerli predikat sabiti və 𝑡₁, 𝑡₂, … , 𝑡_𝑛 termlər isə, onda uyğun predikat forma, adətən, P(𝑡₁, 𝑡₂, … , 𝑡_𝑛 ) ilə işarə edilir. M=o olduqda, P() əvəzinə P yazılır.
  
• 
  Predikat formaya və ya hər hansı bərabərliyə, yəni S=t şəkilli ifadəyə (burada S, t- termlərdir) atom deyilir.
  
• 
  Düstur anlayışı aşağıdakı qaydalarla təyin olunur:
  

• 
  atom düsturdur;
  
• 
  əgər A və B düsturdursa, onda A, ^A  B^, ^A  B^, ^A  B^, ^A  B^ -də düsturdurlar;
  
• 
  ^{əgər A düstur, x-dəyişəndirsə, onda}  ^{xA və} ^{xA da düsturdurlar.}
  

Göründüyü kimi, mülahizələr hesabı predikatlar hesabından, əsasən, term və kvantorlarla zənginliyə görə fərqlənir.

Predikatlar hesabı düsturları da mülahizələr hesabı düsturları kimi doğruluq qiymətləri ala bilər. buna baxmayaraq, predikatlar hesabı düsturları ancaq altdüsturlardan deyil, eyni zamanda termlərdən də təşkil olunur. Deməli, termləri də şərh etmək zəruridir.

Term intuitiv olaraq, obyekt mənasını verir.

İ – interpretasiyası (şərhi) aşağıdakı xassələrə malik (R, 𝐼_𝑐, 𝐼_𝑣) – üçlüyüdür.

• 
  R-boş olmayan interpretasiya oblastıdır.
  
• 
  𝐼_𝑐 - hər bir n ölçülü funksional f sabitinə R-dən olan n-dən hər hansı 𝐼_𝑐(f) funksiyasını
  

və hər bir m ölçülü predikat P sabitinə ^ “doğru”-D, “yalan”-Y ^ _çoxluğunda

^Rm -dən

hər hansı

I_c (P)

funksiyasını qarşı qoyur.

• 
  𝐼_𝑣- hər bir dəyişənə R-dən hər hansı elementi qarşı qoyan funksiyadır.
  

Ümumilik və mövcudluq kvantorları ilə məntiqi bağlayıcılar arasında aşağıdakı düsturlar mövcuddur:

1. 
   ^ - ümumilik kvantoru üçün:
   

xA  xB  xA  B;

xA  xB  xA  B;

xA  B  xA  xB;

xA  B  xA  xB.

2. 
   ^-mövcudluq kvantoru üçün:
   

xA  B  xA  xB;

xA  B xA  xB;

xA  B  xA  xB.

3. 
   ^ - ümumilik və ^-mövcudluq kvantorları üçün:
   

xA  xA

^{Predikatlar hesabında da ikilik prinsipi vardır. Belə ki, hər hansı} ^{(“implikasiya”} bağlayıcısı) daxil olmayan məntiqi ekvivalentlik də D(“doğru”) və Y(“yalan”) doğruluq qiymətləri, ^ (“konyunksiya”) məntiqi bağlayıcısı, ^ (“dizyunksiya” məntiqi bağlayıcısı),

 ^{(ümumilik kvantoru) və}  ^{(mövcudluq kvantoru) simvollarının yerlərini dəyişsək, yenə} də məntiqi ekvivalentlik alarıq.

Müxtəlif kvantorlar arasında da aşağıdakı mühüm münasibətlər vardır:

xyA  yxA;

xyA  yxA;

xyA  yxA /

Mülahizələr kimi predikatlar da iki qiymət ala bilir: (1) “doğru” və (0) “yalan”. Ona görə də mülahizələr məntiqinə aid olan bütün əməliyyatlar onlara da tətbiq oluna biləndir. Mülahizələr məntiqində qeyd etdiyimiz elementar mülahizələrdən mürəkkəb, qarışıq mülahizələrin yaradılmasına analoji olaraq, elementar predikatlardan mürəkkəb predikatlar yaratmaq mümkündür.