Mühazirələr Orta İxtisas Təhsil müəssisələrində fənnin tədrisi üçün nəzərdə tutulub

Kvantor əməliyyatları

Riyaziyyatda hər hansı təklif ona daxil olan məchulun bütün qiymətlərində, bir neçə qiymətində və ya yeganə qiymətində ödənilə bilər. Məsələn:

Tutaq ki, aşağıdakı (bir yerli predikatlar) riyazi təkliflər verilmişdir:

1. 
   𝑃₁⁽𝑥⁾: ≪ (𝑥 + 1)² = 𝑥²+2x+1 bərabərliyi x-in bütün qiymətlərində ödənilir.
   
2. 
   𝑃₂⁽𝑥⁾: - x-in elə qiyməti var ki, 3𝑥² + 5x – 8 = 0 tənliyi ödənilir.
   
3. 
   𝑃 ⁽𝑥⁾: ^{x  0} sistemi x-in yeganə qiymətində ödənilir.
   

0_
³ x  ^

Riyazi məntiqdə belə predikatları simvolikanın köməyi ilə yazmaq üçün ümumilik, varlıq və yeganəlik kvantorlarından istifadə edirlər. bu kvantorların işarəsini və mənasını aşağıdakı cədvəl vasitəsi ilə göstərmək olar:

Kvantorlar	Simvolik işarəsi	Mənası
Ümumilik kvantoru	∀	Bütün, ixtiyari, hər bir, istənilən
Varlıq kvantoru	∃	Vardır, hər hansı, heç olmazsa
Yeganəlik kvantoru	∃!	Yeganə, yalnız və yalnız

Bu kvantorlardan istifadə etməklə yuxarıda göstərdiyimiz riyazi təklifləri qısa (simvolik) şəkildə yazmaq olar:

1. 
   (∀ 𝑥 ∈ 𝑅 ) 𝑃₁⁽𝑥⁾ bu yazılış belə oxunur: “ 𝑥 ∈ 𝑅 olan bütün qiymətlərində P(x) predikatı ödənilir”. Burada ∀ ümumilik kvantoru “bütün” sözünü əvəz edir.
   
2. 
   (∃ 𝑥 ∈ 𝑅 ) 𝑃₂⁽𝑥⁾ bu simvolik yazılış belə oxunur: “𝑥 ∈ 𝑅 olan elə qiyməti vardır ki, həmin qiymətlərdə P(x) predikatı ödənilir”. Burada ∃ varlıq kvantoru “vardır” sözünü əvəz edir.
   
3. 
   (∃! 𝑥 ∈ 𝑅 ) 𝑃₃⁽𝑥⁾ bu simvolik yazılış belə oxunur: “𝑥 ∈ 𝑅 olan yeganə qiyməti vardır ki, həmin qiymətlərdə P(x) predikatı ödənilir”. Burada ∃! yeganəlik kvantoru “yeganə” sözünü əvəz edir.
   

Ümumilik və varlıq kvantorları ikiyerli, üçyerli və s. predikatlarda da tətbiq

olunur.

Məlumdur ki, hər hansı bir fikri ifadə edən cümlədəki mənanı inkar edən yeni

bir cumlə qurmaq istədikdə, biz ümumiyyətlə, cümlədəki xəbərdə uyğun inkar şəkilçisini artırırıq. Məsələn, “x çayı Qara dənizə tökülür” cümləsinin inkarı “x çayı Qara dənizə tökülmür” cümləsidir. Kvantorlu bu mülahizələr doğrudan da biri digərinin inkarıdır. Kvantorlu cümlələrin inkarının qurulmasında bu metod həmişə yarayırmı? Aşağıdakı nü- munəyə baxaq: “Bütün quşlar uçurlar” və “bütün quşlar üçmurlar” cümlələri biri digərnin inkarı deyildir, belə ki, onların hər ikisi yalan fikri ifadə edir. “Bəzi quşlar uçurlar” və “Bəzi quşlar uçmurlar” cümlələri də biri digərnin inkarı deyildir, belə ki, onların da hər ikisi doğru fikri ifadə edir. Deməli “Bütün x-lər üçün P olur” yaxud “Bəzi x-lər üçün P

olur” kimi cümlələrin inkarını qurmaq üçün orada xəbərin inkar şəklini yazmaq həmişə doğru nəticə vermir. Bu tipli cümlələrin inkarını qurmaq üçün universal üsul bu cümlələrin əvvəlinə “doğru deyildir ki,” söz birləşməsini artırmaqdır. Deməli “Bütün quşlar uçurlar” cümləsinin inkarı “Doğru deyildir ki, bütün quşlar uçurlar” cümləsidir. “Bəzi quşlar uçurlar” cümləsinin inkarı “Doğru deyildir ki, bəzi quşlar uçurlar” cümləsidir.

^Kvantorlu x(P(x)) ^{cümləsinin inkarını  x(P(x)) , və x(P(x)) cümləsinin inkarını}

isə x(P(x))

kimi işarə edək. Aşkardır ki, ^{ x(P(x))}

cümləsi


 x( P(x) )

cümləsi ilə eyni məna

daşıyır və deməli eyni doğruluq qiyməti alırlar. Başqa sözlə desək,

x(P(x))

cümləsi

 x( P(x) )

ilə ekvivalentdir; Eyni ilə də  x(P(x))


və ^{ x( P(x))}

cümlələri ekvivalentdirlər.

Ümumilik və mövcudluq kvantorlarını bir-birinə nəzərən ikili adlandırırlar.

İndi isə bir necə kvantorla başlayan məsələn,

xyz(P(x,y,z))

şəklində olan

mülahizəsinin inkarının necə qurulmasını aydınmaşdıraq.

Yuxarıda söylənən qaydaları ardıcıl tətbiq etməklə aşağıdakı mühakıməni alarıq:

1) ^{ x  y  z(P(x,}

y, z))

mülahizəsi


x( yz(P(x,

y,z))

mülahizəsi ilə eynigüclüdür,

2) x( yz(P(x,

y,z))

mülahizəsi


x  y(z(P(x,

y,z)))

mülahizəsi ilə eynigüclüdür,

3) ^{x  y(z(P(x,}
y,z)))

mülahizəsi


xyz( P(x, y,z))

mülahizəsi ilə eynigüclüdür.

Deməli

xyz(P(x,y,z))

şəklində olan mülahizələrin inkarı


xyz( P(x, y,z))

mülahizəsidir.

Doğruluğu digər məlum təkliflər və aksiomlar əsasında isbat olunan təkliflərə (mülahizələrə) “teorem” deyilir. Predikatların implikasiyasının tərkibinə şərt və nəticə daxil olduğu kimi teoremin də, quruluşuna (məzmununa) şərt və nəticə daxildir. Riyazi məntiqdə mülahizə, predikat anlayışları və onlar üzərində aparılan məntiqi əməllər teoremin quruluşunu öyrənməyə imkan verir. Hər bir teoremin 3 hissədən ibarət olduğu aşkar edilir:

• 
  Aydınlaşdırıcı hissə: ∀x∈ 𝑵
  
• 
  Teoremin şərti: P(x)
  
• 
  Teoremin nəticəsi: Q(x)
  

∀x∈ 𝑵 -aydınlaşdırıcı hissə teoremin hansı çoxluqda isbat edildiyini və doğru olduğunu göstərir.

P(x) – predikatdır və teoremin (implikasiyasının) şərtinin nədən ibarət olduğunu göstərir.

Q(x) - predikatdır və teoremin (implikasiyasının) nəticəsini göstərir.

Verilmiş eyni bir teoremi müxtəlif şəkillərdə ifadə etmək olar. Bununla əlaqədar olaraq, verilmiş hər hansı teoremin aşağıdakı müxtəlif növləri alınır: