N tərtibli determinant anlayışı Minor və cəbri tamamlayıcı

Teorem 7: (bazis minor haqqında teorem) Matrisin bazis sətirləri (bazis sütunları) xətti asılı deyil və həmin matrisin ixtiyari sətri (sütunu) bazis sətirlərinin (sütunlarının) xətti kombinasiyasından ibarətdir.
İsbatı: Əksini fərz edək. Tutaq ki, bazis sətirləri xətti asılıdır. Onda teorem6-ya əsasən bu sətirlərdən biri digər bazis sətirlərinin xətti kombinasiyası şəklində göstərilə bilər. Bazis minorunun qiymətini dəyişmədən həmin sətirdən qeyd edilən xətti kombinasiyanı çıxsaq, nəticədə sıfırlardan ibarət sətir alırıq. Həmin sətir ancaq sıfırlardan ibarət olduğundan alınır ki, bazis minor sıfra bərabərdir. Bu zidiyyət onu göstərir ki, bazis sətirlərinin xətti asılı olması haqqındakı fərziyyəmiz doğru deyil. Yəni bazis sətirləri xətti asılı deyil.
İndi isə göstərək ki, -nın istənilən sətri bazis sətirlərinin xətti kombinasiyasıdır.
Müəyyənlik üçün fərz edək ki, bazis minor –nın yuxarı sol küncündə yerləşir. Yəni o, ilk sayda sətir və sütundan ibarətdir. Göstərək ki, tərtibli bütün
(20)

determinantları sıfra bərabərdir.
Əgər və ya olarsa, (20)-də iki sətir və ya iki sütun eyni olduğundan alınır ki, -dır. olduqda isə determinantı –nın tərtibli minoru olacaqdır və bazis minorun tərifinə əsasən tərtibli bu minorlar sıfra bərabərdir. Nəticədə alırıq ki, (20) ilə təyin edilən determinantı ixtiyari və üçün sıfra bərabərdir: .
(20)-ni sonuncu sütuna nəzərən ayıraq:
(21)
bazis minoru ilə üst-üstə düşdüyündən -dır (21)-dən alırıq:
(22)
Aşağıdakı kimi işarələmə aparaq:
(23)
(23)-ü (22)-də yazaq:
(24)
(24)-ə əsasən alınır ki nömrəli sətir ilk r sayda sətrin, yəni bazis sətirlərinin xətti kombinasiyasından ibarətdir.
Teorem 8: tərtibli determinantının sıfra bərabər olması üçün zəruri və kafi şərt onun sətirlərinin (sütunlarının) xətti asılı olmasıdır.