O. O. Hoshimov, M. M. Tulyaganov kompyuterli va raqamli texnologiyalar

Bu yerda x - o‘zgaruvchi, у - qidiriluvchi funksiya (x bo‘yicha), y, y',..., y" - l,2,...,n tartibli hosilalar.
Tenglamaning tarkibiga kiruvchi hosilalaming eng yuqori tartibi differensial tenglamaning tartibi deyiladi.

2. 
   Agar y=f(x) funksiya qiymatini (11) ga qo‘yilganda tenglamani ayniyatga aylantirsa, u (11) tenglamaning yechimi deyiladi.
   
3. 
   Har bir differensial tenglama bir necha cheksiz yechimlarga ega. Shuning uchun uning xususiy yechimini topish uchun boshlan- g‘ich shartlami ko‘rsatish zarur, ya’ni:
   

У₀=У(х₀)>У-У'(^хо)---Уо^<п'¹⁾⁼У^,п'¹⁾- 02)

4. 
   (1) tenglama yuqori tartibiga nisbatan aniqlangan deyiladi, agar uni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin bo‘lsa:
   

y⁽ⁿ⁾=f(x,y,y',y'',...,y⁽ⁿ'¹⁾) (13)
Ya’ni noma’lum P,(x), y" ni P₂(x), ..., y^{(n l)} ni P_n.,(x) bilan almashtirib, (13) tenglamani n ta birinchi tartibli differensial tengla- malar tizimiga keltirish mumkin. Shundan qilib:
Y'=P,
P' =P
1 ¹ 2
P'=P₃
P'_B.=f(x,y,P₁,P₂,...,P_|i.₁); va boshlang‘ich shartlari uchun:
^¥(^хо)⁼Уо
^Р,(^хо)=Уо
^Р„-,(^хо)⁼Уо^(П'^,) o‘rinli bo‘ladi.
Ko‘p hollarda differensial tenglamaning yechimini analitik ko‘ri- nishda ifodalashning imkoni bo‘lmaydi. Shuning uchun masalaning taqribiy yechimini hisoblashda, u yoki bu sonli metodlardan foyda­laniladi. Shulardan biri bo‘lgan sonli integrallash - Eyler metodining qo‘llanilishini ko‘rib chiqamiz.
Eyler metodi
Eyler metodini ikkinchi tartibli tenglamaga nisbatan qo‘llashni ко‘rib chiqamiz.
Boshlang'ich shartlari y(x₀)=y₀ va y'(x₀) = y^ bo‘lgan ikkinchi tartibli differensial tenglama berilgan bo‘lsin:
y" = fix, y,y') (14)

Bu tenglamani quyidagicha belgilashlar kiritib, birinchi tartibli differensial tenglamalar tizimiga keltirish mumkin:

(15)
y' = P
P' = f(x,y,P).
Boshlang'ich shartlari uchun:
У(^хо)=Уо’
P(x₀ ) = P₀ =y₀
(14) tenglamani sonli yechishda masala quyidagicha hal qilinadi: x₀,x_p...,x_n nuqtalarda funksiya у(х_:), i = 0,l,...,w-l aniq qiymatiga yaqinlashishlar y₀,y₁,...y_n ni topish talab etiladi. Дх = х,_+|-дг. farqni A, i= 0,l,...,n-l bilan belgilaymiz. Ko‘pincha h. o‘zgarmas qilib olinadi. U holda = x₀+ih, i=0,l,-,n.
Hosilaning ta’rifiga ko'ra:

_v(.r + h) = y(x + h) + y'h + О, (A) i'(x + h) = P(x) + P'h+0₂(h)

(16)
yoki

Bu yerda y' i P' x nuqtada olinadi va 0,(A) va 0₂(h) qiymatlari h nolga intilganda nolga intiladi.
(16) da x ni o‘rniga x_t, i = 0,l,...,n-l qiymatini va (15) dan y' va p' o‘rniga ularning ifodasini qo‘yib, quyidagiga ega bo‘lamiz:
y(x_M) = y(x_i) + hP(x_i)
P(x_l+l)) = P(x) + hf(x_ny(x_:),P(x,)).
Bu yerdan ko‘rinib turibki, x_M nuqtada у i P funksiyalari taqribiy qiymatini quyidagicha hisoblash maqsadga muvofiqdir:
Ум=У,+ЬР.
P_l+]=Pi+hf(x,y„Pi).
Bu yerda:
Ум=У(^хм)>^Рм = ^P(^xi+1) y,=y(x,), / = 0,1,2,
Misol: >>(0) = l,/(0) = 2, boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi [0; 2] oraliqda quyidagi differensial tenglamani taqribiy qiymatlari jadvalini A = 0,2 integrallash qadami bilan Eyler metodi yordamida toping:
y"-3y' + 2y-2x + 3 = 0. (18)
Bundan tashqari, yechish algoritmida tenglamaning aniq yechimi y = e^x + x ni bosmaga chiqarish ko‘zda tutilsin.
Yechish:

18. 
    tenglamani (15) ko‘rinishga keltiramiz:
    

\У = Р
\P’ = ЪР-2у + 2х-Ъ

y( 0) = 1 P( 0) = 2

15-rasm. Asosiy dastur blok-sxemasi.
(19)
Dastur tuzishda qulay- roq bo‘lishi uchun у ni y_v P ni y₂ bilan almashtirib,

18. 
    tenglamalar tizimini quyidagi ko‘rinishga kel­tiramiz:
    

У\ =У2
У2=ЗУ2-²У1^+2х~³ Boshlang‘ich sharti:
b>,(0) = l U(0) = 2

с

l=l.n

	У	—	У 0

Differensial tenglamalarning о ’ng tomonini hisoblash qism dasturiga murojaat




Kirish
1=1, n

У 0

С
у 0 + hy 1
Chiqish

16. 
    rasm. Eyler qism dasturining blok-sxemasi.
    

16. 
    rasm. Differensial tenglamani o'ng tomoni yl.lami hisoblash qism dasturi blok-sxemasi.
    

Blok-sxemada quyidagi belgilashlar qabul qilingan: n - differensial tenglamalar. soni, ko‘rilayotgan misolda n=2; h - integrallash qadami, h=0,2;
x - argumentning boshlang‘ich va keyingi qiymatlari, x=0; yO(l), y0(2) - у funksiyaning boshlang‘ich va va keyingi qiymatlari, yO(l)=l, y0(2)=2;