O. O. Hoshimov, M. M. Tulyaganov kompyuterli va raqamli texnologiyalar

Algoritmi:

1. 
   x₀=l, £,=0.001 va n=0 qabul qilamiz.
   
2. 
   Keyingi yaqinlashishni quyidagi formula bilan hisoblaymiz:
   

sinx, —x₂ +0,15
/1 + 1 ^лп
COS X„

3. 
   8 = *_n+i ~^x„ ⁿi hisoblaymiz va n ni bittaga oshiramiz.
   

4. 
   Quyidagi shartni tekshiramiz: Agar |<5| > G bo‘lsa, 2 qadamga
   

qaytamiz. Agar |<5| < S bo‘lsa, u holda x_j+/ ni javob deb qabul qilamiz va hisoblashni to‘xtatamiz. Bu yerda n qiymati bajarilgan iteratsiyalar soniga teng.
Dasturi:
10 x—1 N=0 E=0.001 20 Y=X*(SIN(X)-X+0.15)/(COS(X)-1)
30 D=ABS(Y-X) X=Y
40 N=N+1
50 IF D>E GOTO 20
60 PRINT «Х=»; X, «N=»; N
70 STOP
RUN
Javobi:
X=0.981122 N=2
Tekshirish: aniq ildizdan taqribiy topilgan ildizni farqi 1,63913*10'⁷ ga teng.
Oraliqni ikkiga bo‘Iish metodi
f(x)=0 tenglama berilgan bo‘lsin, bu yerda f(x) [a,p] oraliqda uzluksiz va f(a)*f(f3)<0.
Oraliqni ikkiga boiish metodi Nyuton metodida f'(x) ni va iterat­siya metodida

/O) = 0ni [a,/3] oraliqda ildizini topish uchun ushbu oraliqni
a +13
ikkiga boiamiz, ya’ni boshlang‘ich yaqinlashish sifatida x₀ = ——m
olamiz. Agar f(x₀) = 0 bo‘Isa, u holda л:₀ nuqta /(jr) = 0 tenglama­ning ildizi bo‘ladi. Agar f(x)*0, bo'lsa, u holda [a,*₀] yoki [x₀,p]
oraliqni qaysi birining chegaralarida f(x) funksiya qarama-qarshi ishorani qabul qilsa, o‘sha oraliqni tanlab olamiz.
Oraliqni ikkiga boiish jarayonini oraliqning uzunligi £ dan kichik bo‘lguncha davom ettiramiz.
Misol: [2,3] oraliqda e=l(H absolyut xatolik bilan oraliqni ikkiga
bo‘lish metodi yordamida f = x-у/9 + х + x² -4 = 0 tenglamaning ildi­zini toping.
Dasturi:
10 A=2 B=3 E=lE-4 20 Y=A*SQR(9+A)+A^A2-4 30 X=(A+B)/2 40 Z=X*SQR(9+X)+X^A2-4 50 IF Z=0 GOTO 110 60 IF Z*Y<0 GOTO 90 70 A=X Y=Z 80 GOTO 100 90 B=X
100 IF (В-A) >E GOTO 30
110 PRINT «Х=»; X
120 STOP
RUN
Javobi:
X=2.25775 Tekshirish:
Aniq ildiz bilan taqribiy topilgan ildizning farqi 6.4134* 10^-5

13-rasm. Oraliqni ikkiga bo'lish metodi blok-sxemasi.

Aniq integralni hisoblash Qisqacha nazariv kirish
Ko‘pincha ilmiy-texnik masalalarda aniq integralni yoki boshlan- g‘ich funksiyaning qiymatini hisoblash zaruriyati tug‘iladi.
Ba’zi bir ta’riflarni keltiramiz.

1. 
   F(x) funksiya berilgan oraliqda f(x) funksiyaning boshlang'ich funksiyasi deyiladi, agar quyidagi shart bajarilsa:
   

F'{x) = f(x)

2. 
   [a,b] oraliqda f(x) funksiya berilgan bo‘lsin. Bu oraliqni ixtiyoriy A\) =x_i+l -xi (i=0,1,2,...,n-1) bo‘laklarga bo'lamiz. Bu bo‘laklarning
   

har birida ixtiyoriy $ (i=0,l,...,n-l) nuqtani tanlab olamiz. Unda
b
f(x) funksiyaning a dan b oraliqdagi \f(^x)d* aniq integrali deb:
a
n-1
lim Z _t и -1 a-
max Ax. 0/= 0 tushumladl.

3. 
   Matematik analiz kursidan ma’lumki, agar F(x) [a,b] oraliqdagi
   

b
f(x) funksiyani boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, u holda j/\x)dx = F{b) -F(a)
a
o‘rinli.
Shunday qilib, boshlang‘ich funksiyani hisoblashni bilsak, aniq integral qiymatini hisoblashimiz mumkin. Lekin, ko‘p hollarda boshlang‘ich funksiyani elementar funksiyalar orqali ifodalash qiyin bo‘ladi. Shuning uchun taqribiy integrallashga to‘g‘ri keladi. Bu masalani hal qilishning bir qancha sonli metodlari mavjud. Shu metodlardan biri bo‘lgan trapetsiya metodini ko‘rib chiqamiz.
Trapetsiya metodi
b
Bizga ma’lumki, }/(*)<& aniq integralning qiymati f(x) funksiyasi
a
grafigi, abssissa o‘qi, ikki x=a va x=b to‘g‘ri chiziqlari bilan chegara- langan yuzadan iborat.
Integrallash oralig‘i [a,b] ni n ga teng h=(b-a)/n qismlarga boiamiz. Bo‘linish nuqtalari x₀=a, x_l=a + h,...,x_n=b da y=f(x) funksiyasi chizig‘i bilan kesuvchi ordinatalar y₀,y_l,...,y„ ni o‘tkazamiz, ya’ni y. = /(*,.), x,.= a + ih, i = 0,1,...,и. Ordinatalar oxirini to‘g‘ri chiziqli kesmalar bilan birlashtiramiz. U holda egri chiziqli trapetsiya aABb yuzasini taxminan aACD...NBb chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzasiga teng deb hisoblash mumkin.
Trapetsiyalar yuzalari yig‘indisini S orqali belgilasak, bu figuraning yuzasi taqribiy quyidagiga teng:


14-rasm. Trapetsiya metodining geometrik та 'nosi.



У_п+У, Ул⁺У>) У„ i ⁺У„
S = h{ _ *+ ¹ . ² +... + -3--^{1 n}
b — a
) = (y_ +2v, +... + 2v ,+y )
2 2 2 2n 0 n — \ *n'
Shunday qilib, aniq integralning taqribiy qiymati trapetsiya
formulasi orqali quyidagi ko'rinishda yoziladi:
b
Jf(x)dx * (y_Q + 2y, +... + 2y_n__t +yj ₍j₀₎
a
Misol:

= 1 / 2 — 0 = 0,5
1^лА=т1
Dasturi:
10 INPUT A,B.N 20 DEF FNY(X)=X 30 GOSUB 100 40 PRINT «S=» S;
50 STOP 60 END
100 REM TRAPETSIYA METODI 110 H=(B-A)/N
120 Y0 =FNY(A) Y1=FNY (B) S=0 130 FOR 1=1 TO N-l 140 X=A+I*H 150 S=S+2*FNY(X)
160 NEXT I
170 S=(B-A)/(2*N)*(Y0+S+Y1)
180 RETURN RUN
Bu yerda A=0, B=l, N=20 deb, qiymatlarini INPUT operatori orqali kiritamiz.
Javobi:
S=5.
STOP AT LINE 50 READY
DIFFERENSIAL TENGLAMAGA KELTIRILUVCHI MASALA
0_O temperaturaga ega jism t=0 vaqt daqiqasida a (0_o>a) tempera- turaga ega bo‘lgan muhitga joylashtirilgan bo‘lsin. Jismni vaqt bo‘yi- cha temperaturasining o‘zgarish qonunini topish talab etiladi. Qidi- riluvchi funksiya vaqtga bog‘liq bo‘lib, 0(t) bilan belgilaymiz.
Fizika kursidan bizga ma’lumki, jismning sovish tezligi jism tempe- raturasi bilan muhit temperaturasining farqiga to‘g‘ri proporsional. 9(t) funksiya kamayuvchi ekanligi va hosilaning mexanik ma’nosidan quyidagiga ega bo‘lamiz:
^ = -*[©(,)-a] (1)
Bu yerda к - proporsionallik koeffitsienti.
(1) muvozanat tenglama ushbu fizik jarayonni matematik mode- lidir. Bu tenglama differensial tenglama deyiladi, chunki uning tarkibi- da 0(t) o‘zgaruvchining qiymati bilan birga uning hosilasi ham qat- nashyapti. (1) differensial tenglama boshqa fizik jarayonlarni ham ifodalashi mumkin. Masalan, motoming qizish temperaturasini ham xuddi shunga o‘xshash differensial tenglama orqali ifodalasa boiadi. Faqat motoming temperaturasini aniqroq topish uchun uni bir necha bo‘laklardan iborat deb qarab, har biri uchun differensial tenglama tuzib chiqiladi va bu tenglamalar tizimini yechib, uning temperaturasi o‘zgarish qonunini topish mumkin.