oddiy simmetriya elementlari

L_3i = L₃ + i
Amaliyotda ikkita simmetriya amalini bajarish o’rniga bitta L_3i ni bajarish qulay. Shuning uchun bunday struktura bitta L_3i ega deb aytiladi.

9-rasm. Uchinci tartibli inversion o’q.
To’rtinchi tartibli tartibli inversion o’qning geometrik mohiyatini 10- rasmdan yaqqol tushuntirib berish mumkin. Sistemani 90⁰ ga burasak nuqtalar
A^' B^' va D^' E^' holatga o’tadi (10 (a)-rasm). Bu holat sistemaning boshlang’ich holati bilan ustma-ust tushmaydi. Lekin uni simmetriya markazi C ga nisbatan qaytarsak, D^' E^' nuqtalar AB holatga, A^' B^' chiziq DE holatga o’tadi va sistema boshlang’ich holatiga qaytadi. Bu simmetriya amalini oldin qaralgan bironta simmetriya elementi yordamida bajarib bo’lmaydi. Demak, 4-tartibli inversion o’q, xuddi 3-tartibli inversion o’q kabi mustaqil simmetriya elementi bo’lar ekan. Shuni alohida ta’kidlash lozimki, 4-tartibli inversion o’q hamma vaqt ikkinchi tartibli oddiy o’qdan iborat bo’ladi. Ammo, ikkinchi tartibli oddiy o’q (L₂ ) 4-tartibli inversion o’qdan (L_4i ) iborat bo’lolmaydi.
6-tartibli inversion simmetriya o’qi va uning geometrik mohiyati.
Strukturaning zarrachalari boshlang’ich holatda ABD va mnk nuqtalarda joylashgan bo’ladi.Strukturani 60⁰ ga burasak (L₆ ga tegishli amal) u yangi holatga A¢B¢D¢ va m¢n¢k¢ ga o’tadi. Bu holat buralmasdan avvalgi holat bilan ustma–ust tushmaydi. Demak struktura L₆ ga ega emas. Endi yangi holatga ko’chgan zarrachalarning L₆ ustida joylashgan simmetriya markazi C ga nisbatan qaytaradi. Unda A¢ nuqtadagi zarracha buralgan avvalgi k nuqtadagi zarracha o’rnini, B¢- zarracha m zarracha, D¢- zarracha n zarracha o’rnini oladi va struktura boshlang’ich holatiga qaytadi.


10-rasm. To’rtinchi tartibli inversion o’qni tushuntirishga doir.
Shunday qilib,bu struktura uchun birdaniga L₆ va C amallarini bajarib,uni avvalgi holatiga qaytarish mumkin ekan. Demak,biz qarayotgan struktura 6-tartibli inversion o’qqa ega bo’lar ekan.
Bunday struktura oddiy L₃ ga ega bo’ladi. Demak, L_6i ni hamma vaqt L₃ deb qarash mumkin. Lekin L₃ hech qachon L_6i bo’laolmaydi. Chunki, strukturaning L₃ ega bo’lishi uchun unda simmetriya markazi bo’lishi shart emas. Lekin strukturaning L_6i ga ega bo’lishi uchun L₃ ga tegishli strukturadan tashqari, inversiya markazi ham bo’lishi kerak.