Yechish. 10-misoldagi ushbu gomomorfizmni olib qaraymiz. Agar har bir qo’shni sinfga shu qo’shni sinfga kiruvchi hamma matritsalarning determinantiga teng sonni mos qilib qo’yilsa, u holda bu gomomorfizmning yadrosi bo’ladi. Bundan ■
14-m i s o l. 8-misolni gomomorfizmlar haqidagi teoremaga asoslanib yechamiz.
Yechish. Har bir kompleks songa uning modulini mos qilib qo’yamiz. tenglikdan moslik gruppaning gruppaga gomomorfizmi ekanligi kelib chiqadi. Uning yadrosi bo’yicha 1 ga teng bo’lgan barcha kompleks sonlarning qismgruppasining xuddi o’zi bo’ladi. Demak, ■
15-m i s o l.Moduli 1 ga teng bo’lgan barcha kompleks sonlarning multiplikativ gruppasining 1 va –1 sonlardan iborat N qismgruppa bo’yicha faktor-gruppasini toping.
Yechish. Ushbu moslikni qarab chiqamiz. bo’lgai uchun bu akslantirish gruppaning o’zida gomomorfizmi bo’ladi. Aslida esa, bu gruppaning o’ziga gomomrfizm bo’ladi, chunki har bir kompleks son boshqa biror sonning kvadrati shaklida ifodalanadi. Bu gomomorfizmning yadrosi faqat va faqat shunday sonlardan iborat bo’ladiki, . Ko’rinib turadiki, bular 1 va –1 sonlar bo’ladi, ya’ni yadro N bilan ustma-ust tushadi. Demak, gomomorfizmlar haqidagi teoremaga asosan ■
16-m i s o l.Oldingi misolda G gruppaning 1 ga teng bo’lmagan N normal bo’luvchisi bo’yicha faktor-gruppasi gruppaning o’ziga izomorf bo’lishi ko’rindi. Bu hol chekli gruppa bo’lganda ham sodir bo’lishi mumkinmi?
Yechish. Bo’lishi mumkin emas, chunki Lagrnj teoremasiga asosan bu holda faktor-gruppaning tartibi ning tartibining N ning tartibiga bo’linmasi, ya’ni gruppaning tartibidan kichik bo’ladi. ■
M A S H Q L A R 66. gruppada
a) har bir qismgruppa bo’yicha o’ng qo’shni sinflarni toping;
b) qismgruppalarning qaysilari normal bo’luvchilar bo’lishini ko’rsating.
67. ko’rinishdagi podstanovkalarning N to’plami gruppada qismgruppa tashkil etishini ko’rsating. ning H bo’yicha qo’shni sinflari sonini toping.
68. Tekislikning belgilangan O nuqtasidan chiquvchi vektorlarning additiv gruppasining shu O nuqtadan o’tuvchi belgilangan to’g’ri chiziqda yotuvchi vektorlar qismgruppasi bo’yicha qo’shni sinflarini toping. Qo’shni sinflarni tekislikda tasvirlang.
69*. Faqat birlik elementdangina iborat bo’lmagan G gruppa uning tartibi tub son bo’lganda va faqat shu holdagina xos qismgruppalarga ega bo’lmasligini isbot qiling.
