O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti algebra va geometriya kafedrasi asosiy algebraik sistemalar

88*. a) b) ; s) gruppalarda qo’shma sinflari sonini toping.

89. a) agar N va K chekli gruppaning qo’shma qismgruppalari va bo’lsa, bo’lishini;

b) qismgruppalar gruppada qo’shma va bo’lishini isbot qiling.

90. Agar a) H qismgruppa da dioganal matritsalar qismgruppasi bo’lsa;

b) H qismgruppa da ko’rinishdagi matritsalar qismgruppasi bo’lsa, H qismgruppaning N(H) normalizatori (H normal bo’ladigan eng katta qismgruppa) ni toping.

91*. qimsgruppaning G dagi indeksi 2 ga teng, G gruppadagi qo’shma elementlar sinfi S bo’lib, bo’lsa, S yo H da qo’shma bo’lgan elementlar sinfi yoki bir xil miqdordagi elementlardan iborat H da qo’shma elementlarning ikki sinfining birlashmasidan iborat bo’lishini isbot qiling.

92*. gruppada qo’shma sinflari sonini va sinflarning har birida elementlar sonini aniqlang.

93. a) butun sonlar additiv gruppasining berilgan p natural songa karrali bo’lgan sonlar qismgruppasi bo’yicha;
b) to’rtga karrali butun sonlar additiv gruppasining 24 ga karrali butun sonlar qismgruppasi bo’yicha;


c) noldan farqli haqiqiy sonlar multiplikativ gruppasining musbat sonlar qismgruppasi bo’yicha, faktor-gruppalarini toping.

94. akslantirish haqiqiy sonlar additiv gruppasining moduli bo’yicha birga teng bo’lgan kompleks sonlar multiplikativ gruppasiga gomomorfizmi ekanligini ko’rsating. Shu gomomorfizm yadrosini toping.

95. Haqiqiy koeffisiyentli hamma ko’phadlarning G additiv gruppasi berilgan bo’lsin. Har bir ko’phadga

satrni mos qilib qo’yamiz, bu yerda juft-jufti bilan har xil bo’lgan berilgan sonlar. Bu akslantirish additiv gruppaga gomomorfizm ekanligini isbot qiling va uning yadrosini toping.

96*. Multiplikativ abel gruppa G, k – belgilangan butun son, bo’lsin.

a) to’plam G ning qismgruppasi ekanligini;

b) akslantirish G ning ga gomomorfizmi ekanligini, isbot qiling. Bu gomomorfizm yadrosini toping.

97. Agar f - gruppaning gruppada gomomorfizmi bo’lsa, quyidagi tasdiqlarni isbot qiling:

a) b)

c) agar G ning qismgruppasi bo’lsa, ning qismgruppasi bo’ladi;

d) agar ning normal bo’luvchisi bo’lsa, ning normal bo’luvchisi bo’ladi;

e*) hamma vaqt ham ning normal bo’luvchisi bo’lganda ning bo’luvchisi bo’lavermaydi;

f) ning normal bo’luvchisi bo’ladi;

7. bo’lganda va faqat shu holdagina akslantirish monomorfizm (inyektiv gomomorfizm) bo’ladi;

   
   

i) agar ning qismgruppasi bo’lsa, to’plam ning qismgruppasi bo’ladi;

j) agar to’plam ning normal bo’luvchisi bo’lsa, to’plam ning normal bo’luvchisi bo’ladi.

98. ham siklik gruppa bo’lib, uning tartibi tartibining bo’luvchisi bo’lganda va faqat shu holdagina gruppa chekli siklik gruppaning gomomorf obrazi bo’lishini isbot qiling.

99. - chekli gruppa, akslantirish ning gruppada epimorfizm (syuryektiv gomomorfizm) bo’lsa, quyidagilarni isbot qiling;

a) elementning tartibi ning tartibiga bo’linadi;

b) ning tartibi ning tartibiga bo’linadi.

100. Quyidagilar uchun hamma gomomorfizmlarni toping:

a) p-tartibli siklik gruppaning o’ziga gomomorfizmlarini;

b) 18-tartibli siklik gruppaning 6-tartibli gruppada;

c) 12-tartibli siklik gruppaning 15-tartibli siklik gruppada;

d) 6-tartibli siklik gruppaning 25-tartibli siklik gruppada.