O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti algebra va geometriya kafedrasi asosiy algebraik sistemalar

101*. Rasional sonlarning additiv gruppasini butun sonlarning additiv gruppasiga gomomorf akslantirish mumkin emasligini isbotlang.

102*. argumenti bo’lgan sonlar to’plami bo’lsin. Quyidagi tasdiqlarni isbotlang:

a) R/ZU (U - moduli bir bo’lgan kompleks sonlar gruppasi);

b)

c) ning -darajali ildizlari gruppasi);

d)

e)

f)

g)

103.

bo’lsin. Quyidagilarni isbotlang:

1. 
   
2. 
   
3. 
   
4. 
   
5. 
   

104. uch o’lchovli fazoning hamma harakatlari gruppasi, N –parallel ko’chirishlardan iborat qismgruppa va K – berilgan nuqta atrofida burishlar qismgruppasi bo’lsin.

a) N ning normal bo’luvchisi, ammo K – normal bo’luvchi emasligini;

b) bo’lishini, isbot qiling.

105*. gruppada
a) har bir element chekli tartibga ega ekanligini;


b) har bir n natural son uchun roppa-rosa bitta n-tartibli qismgruppa mavjudligini, isbot qiling.

106*. gruppaning ichki avtomorfizmlari gruppasi gruppaning uning markazi bo’yicha faktor-gruppasiga izomorfligini isbot qiling.

107. Noabeli gruppaning uning markazi bo’yicha faktor-gruppasi siklik gruppa bo’laolmasligini isbotlang.
§4. Halqa. Jism. Maydon
Bo’sh bo’lmagan to’plamda ikkita binar algebraik amal aniqlangan bo’lsin. Ulardan birini qo’shuv deb ataymiz va additiv tarzda belgilaymiz, ikkinchisini esa ko’paytiruv deb atab multiplikativ tarzda belgilaymiz. Bu amallar aslida qo’shish va ko’paytirish deb ataladigan oddiy arifmetik amallar bilan bir mazmunli bo’lishi shart emas. Agar:

a) abel gruppa; b) gruppoid;
s) qo’shish va ko’paytirish ikkita:

distributivlik qonunlari bilan bog’langan shartlar qanoatlantirilsa, algebraik sistema halqa deyiladi.

Agar ko’paytirish amali assosiativ, ya’ni polugruppa bo’lsa, assosiativ halqa deyiladi.

Ko’paytirish amali kommutativ bo’lganda esa halqa kommutativ halqa deyiladi. Bu holda ikki distributivlik qonunlaridan bittasini tekshirish yetarli, chunki boshqasi undan kelib chiqadi.

Ko’paytirishga nisbatan neytral 1 element mavjud bo’lganda halqa birlik elementli halqa deyiladi.

1-m i s o l. Ushbu algebraik sistema (bu yerda + va oddiy ma’nodagi arifmetik amallar) uchun a) va s) shartlar bajariladi. Hatto ko’paytirish kommutativ va assosiativ birlik element ham mavjud. Shunga qaramay halqa emas, chunki - gruppa emas. ■

2-m i s o l. birlik elementli assosiativ-kommutativ halqa. Bu yerda ni juft butun sonlar to’plami 2 bilan almashtirib birlik elementsiz assosiativ-kommutativ halqa misolini hosil qilamiz. ■