O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti algebra va geometriya kafedrasi asosiy algebraik sistemalar

G ning H qismgruppasi har bir element bilan birga G da bilan qo’shmalangan har bir elementni ham o’z ichiga olganda va faqat shu holdagina G ning normal bo’luvchisi bo’ladi.

G gruppaning normal bo’luvchilari va faqat shulargina ular bilan qo’shmalangan hamma qismgruppalar bilan mos (ustma-ust) tushadi.

6-m i s o l. gruppa ning normal bo’luvchisi bo’lishini isbot qiling.

Yechish. bo’lsin. U holda

Shuning uchun ham . Shuni isbot qilish kerak edi. ■

Agar G gruppaning H normal bo’luvchilari bo’yicha hamma qo’shni sinflar to’plamida qoida bo’yicha amal kiritsak (additiv yozuvda esa ). Bu amal binar algebraik amal bo’ladi. Shu amalga nisbatan G gruppaning N normal bo’luvchisi bo’yicha hamma qo’shni sinflari to’plamining o’zi ham gruppa bo’ladi. Bu gruppa G gruppaning N normal bo’luvchisi bo’yicha faktor-gruppasi deyiladi va G/H shaklda belgilanadi. G/H faktor-gruppaning birlik elementi N qo’shni sinf faktor-gruppaning elementiga teskari element N va G/H faktor-gruppaning tartibi N ning G dagi indeksiga teng bo’ladi.

7-m i s o l. 5 ga bo’linadigan sonlarning additiv G gruppasining 15 ga bo’linadigan sonlar to’plamidan iborat N ismgruppa bo’yicha faktor-gruppasini toping.

Yechish. G – abel gruppa bo’lgani uchun H uning normal bo’luvchisi bo’ladi. G gruppaning H bo’yicha qo’shni sinflarga yoyilmasini topamiz. ning va elementlari bitta qo’shni sinfga tegishli bo’lishlari uchun - son N ga tegishli bo’lishi zarur va yetarli. Boshqacha qilib aytganda va b 15 ga bo’linganda bir xil qoldiq berishlari kerak. Ammo 5 ga bo’linadigan sonlar 15 ga bo’lishganda faqat 0, 5, 10 qoldiqlar hosil bo’lishi mumkin. Shunday qilib, G gruppa uchta qo’shni sinflar hosil bo’ladi: 15 ga bo’linadigan sonlardan iborat, 15 ga bo’lganda 5 qoldiq hosil bo’ladigan sonlardan iborat va 15 ga bo’lganda 10 qoldiq hosil bo’ladigan sonlardan iborat .

Bundan G/H ning tartibi uch ekanligi kelib chiqadi. uning tuzilishini aniqlash uchun sinfni topamiz. Ammo . Shuning uchun Shuningdek, Shunday qilib - to’plam G/H faktor-gruppaning yasovchisidir. G/H gruppa uchinchi tartibi siklik gruppadir. ■