O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti algebra va geometriya kafedrasi asosiy algebraik sistemalar

61. Quyidagi tartibli hamma gruppalar (izomorfizm aniqligigacha) ni toping: a) uch; b) to’rt; c) olti.

62. va gruppalarning izomorfizmb berilgan bo’lsin. Quyidagilarni isbot qiling:

a)

b)

c) va elementlarning tartiblari bir xil bo’ladi.

63. (Keli teoremasi) -tartibli ixtiyoriy chekli gruppa S_n ning biror qismgruppasiga izomorfdir. Shuni isbot qiling.

64. Quyidagilarni isbot qilang:

a) ixtiyoriy gruppaning hamma avtomorfizmlari to’plami kompozitsiyaga nisbatan gruppadir;

b) ushbu (bu yerda element ning belgilangan elementi) akslantirish ning avtomorfizmidir. (Bu ichki avtomorfizm deyiladi).

s) ixtiyoriy gruppaning barcha ichki avtomorfizmlari to’plami kompozitsiyaga nisbatan gruppadir.

65. Quyidagi gruppalarning avtomorfizm gruppalarini toping:

a) butun sonlarning additiv gruppasi;

b) tartibli siklik gruppalar.

66. rasional sonlarning additiv gruppasi va bo’lsin. Quyida-gilarni isbot qiling:

a) akslantirish avtomorfizmdir;

b) ning boshqa avtomorfizmlari mavjud emas.

§3. Qo’shni sinflar. Normal bo’luvchilar.

Faktor-gruppa. Gruppalar gomomorfizmi
Multiplikativ gruppa, uning qismgruppasi va bo’lsin. to’plam gruppaning H qismgruppa bo’yicha chap qo’shni sinfi, to’plam gruppaning H qismgruppa bo’yicha o’ng qo’shni sinfi deyiladi.

1-m i s o l. Simmetrik gruppada va elementlardan iborat A qismgruppani olib qaraymiz va elementni olamiz. U holda chap qo’shni sinf va elementlardan, o’ng qo’shni sinf esa va elementlardan iborat bo’ladi. ■
Chap qo’shni sinflarning quyidagi xossalarini ko’rsatib o’tamiz:

1. 
   

2. yoki ; 3)

   
   

Xuddi shunday xossalar o’ng qo’shni sinflar uchun ham o’rinli.

Berilgan gruppaning H qismgruppa bo’yicha hamma har xil chap qo’shni sinflari soni uning shu podgruppa bo’yicha hamma har xil o’ng qo’shni sinflari soni bilan bir xil bo’ladi. (Gruppa cheksiz bo’lganda buning ma’nosi shuki, gruppaning H qismgruppa bo’yicha hamma chap qo’shni sinflari to’plamining quvvati, o’ng qo’shni sinflar to’plamining quvati bilan bir xil bo’ladi). Bu son (cheksiz to’plam uchun -- quvvat) H qismgruppaning dagi indeksi deyiladi.

Agar gruppa chekli bo’lsa, u holda uning tartibi uning ixtiyoriy H qismgruppasi tartibi bilan shu qismgruppaning dagi indeksi ko’paytmasiga teng bo’ladi (Lagranj teoremasi). Bundan chekli gruppaning ixtiyoriy qismgruppasining tartibi shu gruppa tartibining bo’luvchisi bo’lishi kelib chiqadi. Shuningdek, ixtiyoriy chekli gruppa ixtiyoriy elementning tartibi ham shu gruppa tartibining bo’luvchisi bo’ladi. Aksincha, agar chekli tartibi r tub songa bo’linsa, gruppa r tartibli elementlarga ega bo’ladi (Koshi teoremasi).

gruppa elementlarini H qismgruppa bo’yicha bitta chap qo’shni sinfga tegishlilarini bir to’plamga birlashtirib o’zaro kesishmaydigan sinflarga ajratish gruppaning H qismgruppa bo’yicha chap tomonli yoyilmasi deyiladi. Agar chap qo’shni sinflar o’rniga qismgruppa bo’yicha o’ng qo’shni sinflar olinsa, gruppaning H qismgruppa bo’yicha o’ng tomonli yoyilmasi hosil qilinadi.