O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi buxoro davlat universiteti

2.2 Yarim chegaralangan sohada qo’yilgan masalalarni yechish uchun davom ettirish usuli
Ushbu bobda yarim chegaralangan sohada qo’yilgan ayrim masalalar uchu davom ettirish usulini bayon etamiz.
2.2.1 –Masala. (2.1.1) tenglamaning
(*)
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimni topaylik.
Yechish. (2.1.1) tenglamaning umumiy yechimini aniqlovchi
(Y)
Formuladan, boshlang’ich shartlarga asosan kelib chiqadiki, agar x>at bo’lsa, bo’lib bo’ladi. Agar 00 bo’lib, bo’ladi va natijada (Y) tenglik
(2.2.1)
ko’rinishni oladi. Bu yerdagi f(x) noma’lum funksiya chegaraviy shartdan topiladi.
(2.2.2)
Demak (2.2.1) va (2.2.2) ga asosan (2.1.1) va (*) masalaning yechimi 0 (2.2.3)
formula bilan aniqlanadi. (2.2.3) formulada x-at>0 bo’lganda ham (2.1.1), (*) masalaning yechimini berish uchun funksiyani t<0 da nol deb davom ettirish kerak. U holda

belgilash kiritsak (2.1.1), (*) masala yechimini

ko’rinishida yozish mumkin.
Yuqoridagilardan kelib chiqadiki, I aralash masalaning yechimi

tenglik bilan aniqlanadi, bu yerda (2.1.1),(2.1.2),(2.1.6) masalaning yechimi esa (2.1.1), (*) masalaning yechimi bo’ladi.
2.2.2-Masala. Yarim chegaralangan tor x=0 nuqtaga mahkamlangan boshlang’ich vaqtda

funksiya grafigi ko’rinishga ega, Tor boshlang’ich tebranish tezligiga ega emas. Torning vaqtdagi ko’rinishi chizilsin.
Yechish: Torning tebranishini aniqlovchi funksiyani bilan belgilasak uning uchi x=0 nuqtaga mahkamlangani uchun va boshlang’ich tezlikka ega bo’lmagani uchun bo’ladi.
Demak, bu yerda
(x>0 , t>0)
tenglamaning

shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish haqidagi masalaga egamiz.(2.2.1) paragrafdagi (E) formulaga asosan masala yechimi
(2.2.4)
formula bilan aniqlanadi.
1. bo’lsin.U holda bo’lib, (2.2.4) formulaga asosan


(2.2.5)
2. bo’lsin. U holda yechim (2.2.5) formulaga ko’ra
(2.2.6)
kabi aniqlanadi.
a) bo’lganda bo’ladi. Shuning uchun (2.2.5)ga asosan
U holda (2.2.6) ga asosan
b) bo’lganda bo’ladi u holda (2.2.5)ga asosan

Shuning uchun (2.2.6) ga asosan
bo’ladi.
v) bo’lganda bo’ladi.Shuning uchun (2.2.5) ga asosan

U holda (2.2.6) ga asosan

g) bo’lganda bo’lib, (2.2.5) ga asosan
U holda (2.2.6)ga asosan

d) bo’lganda bo’lib(2.2.5)ga asosan

Demak . Yuqoridagilarga asosan:

Demak, bu holatda tor 2.2.1- chizmadaki ko’rinishga ega bo’ladi.

2.2.1-chizma
3. Xuddi shu kabi da


2.2.2-chizma
II va III aralash masalalar yechimlari ham xuddi shu usulda topiladi. Bunda II bir jinsli chegaraviy shart olinganda boshlang’ich funksiyalar _{da juft davom ettiriladi III bir jinsli chegaraviy shart toq davom ettiriladi.}
Bir jinsli bo’lmagan II va III chegaraviy shart olinganda ga nisbatan birinchi tartibli oddiy differensial tenglama hosil bo’ladi. Bu tenglamaning yagona yechimi u(x,t) funksiyaning x-at=0 xarakteristikada uzluksizlikda foydalanib topiladi.
Agar (2.1.1) tenglama o’rniga

bir jinsli bo’lmagan tenglama bo’lsa, avval (2.2.7) tenglamaning biror yechimini topib so’ngra masala yechimini berilgan

ko’rinishida qidirish kerak.Bunda yangi noma’lum funksiya uchun ko’rinishidagi yangi masala hosil bo’ladi.