O'zbekiston respublikasi oliy va o'rta maxsus ta'lim vazirligi

p boshlang'ich hadi; . — o'sish sur'ati jadalligi; t — yillar soni
(o'rtacha muddat).
Aholining bunday hisob-kitoblarida quyidagi asosiy qoidalarni e'tiborda tutish lozim:
1. Murakkab foizlar bo'yicha o'stirish. Agar aylanma davr 1
yildan ortiqroq bo'lsa, oddiy foizlar bo'yicha o'stirishdan ko'proq
bo'ladi, aksincha oddiy foizlar bo'yicha o'stirish ko'proq natijaga
ega bo'ladi.
2. Murakkab foizlar bo'yicha aholi miqdorini ikki marotabaga
o'sishi vaqtini aniqlash uchun 70 sonini foiz kattaligiga bo'lish
kerak.
Masalan: yiliga 2 foizlik o'sishda aholi qancha yil davomida ikki marotaba ortadi?
Javob: — = 35 yil davomida.
70 sonini foiz kattaligiga bo'lib yuborilishiga sabab quyi-dagicha:

Biroq, bu taxminiy hisob-kitob anchayin aniqroq hisob-kitoblar va ushbu berilgan qoidani asoslashni quyidagicha amalga oshirish mumkin.
Masala quyidagicha shakllantiriladi: R% bo'yicha o'suvchi «a» kattaligi qancha vaqt mobaynida ikki marotabaga ortadi, ya'ni 2a qanchaga teng bo'ladi? Murakkab foizlar formulasi bo'yicha quyidagiga ega bo'lamiz:

^_n nisbatini b orqali belgilaymiz va xuddi shuning o'zini natural logarifmlar orqali aks ettiramiz:
In (1+6) ni bir qatorga yoyib chiqamiz. Bizga ma'lumki,

b nisbatan kichik kattalik bo'lganligi uchun, katta xatolikka yo'l qo'ymaslik maqsadida yoyib chiqilganlarni faqatgina ikkita hadi bilan cheklanib qolamiz. Shunda

Ikkinchi maxraj ko'paytmasining kattaligi b 0,02ga tcng bo'lsin, deb taxmin qilamiz, ya'ni yiliga 2% ga o'sib bormoqda. Bunda

Oxirgi kasrdagi surat va maxrajni 100 ga ko'paytirib, quyidagini hosil qilamiz:
3. Aholi sonining ikki marotabaga o'sishi davrini arifmetik
progressiya bo'yicha hisoblash juda oson. Buning uchun ushbu
yildagi aholi sonini quyidagi formula bo'yicha hisoblab chiqilgan
ma'lum bo'lgan vaqt oralig'idagi aholining o'rtacha o'sish sur'atiga
bo'lib yuborish kerak.
bu yerda: A — o'rtacha yillik o'sish surati; S_t — oxirgi ro'yxatga olish bo'yicha aholi soni (ushbu berilgan vaqt davomidagi); S₀ — awalgi ro'yxatga olish bo'yicha aholi soni (oxirgi vaqt davomidagi); t — yillarda keltirilgan vaqt davri.
4. Aholining istiqboldagi miqdorini hisoblash uchun formulani
tanlashda murakkab foizlar formulasiga ustunlik bcrish kerak bo'ladi
(ayniqsa, agar aholi miqdorini baholash anchayin oldingi muddat
uchun qilinayotgan bo'lsa). Murakkab foizlar formulasi bo'yicha
hisob-kitoblar oddiy foizlar formulasi bo'yicha baholashga nisbatan
ancha haqiqatga yaqinroq bo'lgan natijalar beradi.
Istiqboldagi aholining umumiy miqdorini baholash uchun foydalaniladigan murakkab foizlar formulasi bo'yicha ayrim misollar keltiramiz (raqamlar shartli ravishda olingan).
1-misol: ^ — 10 000 kishi. O'sish yiliga 5%. 30 yil ichida S, qancha bo'ladi? Ushbu masalaga murakkab foizlar formulasini qo'llab a= 10 000 (l+0,05)³⁰ ni hosil qilamiz.
Logarifmga qo'yib:
lga = lgl0000 + 30 lg 1,05 = 4,635679. Bu yerda a=43 219,43. Bu biz istayotgan S_3Q. 2-misol: S₀ - 10 000 kishi. / = 25 yil. S, = 26658,36. R topilsin (o'rtacha yillik o'sish sur'ati jadalligi).
Murakkab foizlar formulasi bo'yicha quyidagini topamiz:

3-misol: O'sish sur'ati jadalligi yiliga 4%ga teng. Aholini ikki marotabaga ko'payish davrini topish. Yana murakkab foizlar formulasidan quyidagini aniqlaymiz:

Aholini ikki marotabaga ko'payish davri 17 yil 1 oy va 7 kunni tashkil qiladi.
4-misol. O'sish sur'ati jadalligi yiliga 3%ga teng. Alioli 20 marotabaga ko'payadi. Aholi soni 20 marotabaga ko'payish davrini qanday topamiz?
Murakkab foizlar formulasi bo'yicha quyidagini topamiz:

Mos ravishda aholining boshlang'ich soni 20 marotabaga ko'payishi davri 101 yil 4 oyni tashkil qiladi.
Demografik tadqiqotlarda aholining istiqboldagi soni aholining yosh-jins tarkibi bo'yicha prognoz qilinadi va unda aholining yosh-jins tarkibidagi o'zgarishlar nisbatan aniq yoritiladi. Aholini yoshi bo'yicha prognoz etishda «yoshni siljitish» usulidan foydalaniladi. Bunda aholining istiqboldagi soni quyidagi formula yordamida aniqlanadi:
L_x*P_x = L_x+[, (12.19)
bu yerda: L_x — x yoshgacha yashashi mumkin bo'lgan aholi soni; P_x — x + 1 yoshgacha yashashi mumkin bo'lgan ehtimollik koeffitsienti; L_x+, — x + 1 yoshgacha yashashi mumkin bo'lgan aholi soni.
Demak, har bir yoshdagi aholi soni (L_x) har bir yosh yashashi mumkin bo'lgan ehtimollik koeffitsienti (P_x) yordamida bir yoshdan (L_x) ikkinchi yoshga (L_x + 1) siljitiladi.
Masalan, 2010 yilda 55 yoshdagi aholi soni 123557 ga teng, 55 yoshdan 56 yoshgacha, ya'ni bir yilda shu guruh aholisining yashash ehtimollik koeffitsienti 0,98588 ga teng. Bu koeffitsientni topish uchun asosiy yosh guruhlari bo'yicha har 1000 kishiga hisoblangan o'lim ko'rsatkichidan foydalanildi. Aytaylik, aholining 55-59 yoshdagi guruhi uchun o'limning maxsus ko'rsatkichi 14,12 %oga teng yoki har 1000 ta 55-59 yoshdagi aholida o'lganlar soni 14,12 ni tashkil etgan

Shundan so'ng 55 yoshdagilar soni — 123557 topilgan koef-fitsient 0,98588 ga ko'paytirilib, keyingi yilda 56 yoshga kiradiganlar soni hisoblanildi. Yoshdan yoshga o'tib borgan sari yashash ehtimollik koeffitsienti ham o'zgarib boradi. Bu koeffitsient res-publikada aholining yosh guruhlari bo'yicha so'nggi besh yillikdagi
o'limning maxsus koeffitsienti asosida hisoblab chiqildi. Shu tariqa istiqboldagi aholi soni prognoz qilindi.
Shunday qilib, ekstropolyatsiya, matematik funktsiyalar, yoshni siljitish va boshqa bir qator usullardan foydalanib aholi sonining istiqbol ko'rsatkichlari aniqlanadi.