O‟zbekiston respublikasi oliy va o‟rta

Qutb koordinata sistemasidagi tenglamalar

1. 
   Parabola
   

kanonik tenglama bilan berilgan bo‟lsa, qutbni parabola fokusiga joylahtirib, qutb o‟qi sifatida abscissa o‟qini olib parabola tenglamasini qutb koordinatalar sistemasida yozaylik.

Agar biz

almashtirish bajarsak

tengliklar o‟rinli bo‟ladi. Bu yerda nuqtaning qutb koordinatalari bo‟lib, agar nuqta parabola tegishli bo‟lsa, uning fokal radiusiga tengdir. Biz
tenglikda ning nuqtadan direktrisagacha bo‟lgan masofaga tengligini hisobga olib ifodani yuqoridagi tenglikka qo‟ysak,

munosabatni hosil qilamiz. Bu munosabat parabola qutb koordinatalar sistemasidagi tenglamasidir.

1. 
   Ellipsning qutb koordinatalar sistemasidagi tenglamasini keltirib chiqaramiz.
   

Buning uchun qutbni ellipsning chap fokusiga joylashtirib, abssissa o‟qini qutb o‟qi

sifatida olamiz. Ellipsning

kanonik tenglamasini qutb koordinatalar sistemasiga o‟tkazish uchun

almashtirishlar yordamida yangi lar yordamida yangi dekart koordinatlar sistemasini kiritamiz. Bu koordinatalar sistemasi va qutb koordinatalar orasidagi bog‟lanishboshi

formulalar yordamida beriladi. Ellipsning nuqtasi uchun chap fokal radiusi uning qutb radiusiga tengligidan foydalanib,

tenglikni yozamiz. Bu tenglikdagi ifodani
tenglikka qo‟ysak tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda

tenglikdan foydalandik.

2. 
   Giperbola tenglamasini qutb koordinatalar sistemasida yozish uchun
   

har qismi uchun mos ravishda qutb koordinatalar sitemasini kiritamiz. Uning o‟ng qismi uchun qutb boshini giperbolaning uning fokusiga joylashtiramiz va abssisa o‟qini qutb o‟zi sifatida olamiz. Giperbola nuqtasi uchun qutb radiusi r uning o‟ng fokal radiusiga teng bo‟lgani uchun
ifodani hosil qilamiz. Biz bilamizki, agar dekart koordinatalarsistemasi uchun qutub boshi koordinata boshida joylashgan va qutb o‟qi abssisa o‟qi bilan ustma – ust tushsa, qutb koordinatalar sitemasi va koordinatalar sitemasi orasidagi bog‟lanish


formula yordamida beriladi. Bu yangi koordinatalar sistemasi va giperbola tenglamasi berilgan Oxy koordinatalar sistemasi orasidagi bog‟lanish esa
ko‟rinishda bo‟ladi. Biz bu tengliklarning birinchisidan foydalanib,


tenglikni hosil qilamiz. Yuqoridagi ifodani bu tenglikka qo‟ysak



tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda

tenlikdan foydalandik.

Biz giperbola chap shoxining tenglamasini qutb koordinatalar sistemasida yozishuchun qutb boshini chap fokusga joylashtiramiz va abssisa o‟qini qarama - qarshi yo‟nalish bilan qutb o‟qi sifatida olamiz. Biz agar
formula bilan yangi dekart koordinatalar sistemasi kiritsak, ular uchun


formula o‟rinli bo‟ladi. Bu yerda qutb radius chap fokal radiusga teng bo‟lganligi uchun


tenglik o‟rinli bo‟ladi. Bu tenglikdagi ning ifodasi yuqoridagi formulaalrdan kelib chiqadi

tenglikka qo‟yib,

tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda ham tenglik o‟rinlidir.

Demak, qutb koordinatalar sistemasida mos ravishdatanlaganda ham qanday ikkinchi

tartib chiziq tenglamasini

ko‟rinishda yozish mumkin ekan. Bu tenglama bo‟lsa parabola, bo‟lganda ellips va nihoyat bo‟lganda giperbola tenglamasidir.