O‟zbekiston respublikasi oliy va o‟rta

Koordinatalar o‟qi va koordinatalar tekisligi.

1.Yo‟naltirilgan kesma, to‟g‟ri chiziqdagi koordinatalar. Biror l to‟g‟richiziqda yo‟nalish kiritib, uni musbat yo’nalish, teskarisini esa manfiy sifatida qilaylik (54 - rasm).

Yo‟naltirilgan to‟g‟ri chiziqda O, A, B, … nuqtalarni belgilaymiz. A va B nuqtalar

hosil qilgan kesmaning bir uchini uning boshi, ikinchi uchini esa uning oxiri sifadaqabul qilib, yo‟naltirilgan (yo‟nalishga ega bo‟lgan) kesmani hosil qilamiz. Boshi A, oxiri esa B bo‟lgan yo‟naltirilgan kesmani bilan belgilaymiz. U holda va kesmalar qarama - qarshi

yo‟naltirilgan kesmalar bo‟ladi: = - . Agar kesmaning yo‟nalishi l to‟g‟ri chiziq yo‟nalishi bilan bir xil bo‟lsa, uni musbat yo‟naltirilgan, aksholda esa manfiy yo‟naltirilgan kesma deb ataymiz.

Yo‟naltirilgan to‟g‟ri chiziqda koordinatalar boshi sifatida biror O nuqtani (54 - rasm) va uzunlik o‟lchov birligini tanlaylik.

Yo‟naltirilgan kesmaning kattaligi deb moduli shu kesmaning uzunligiga teng AB songa aytiladi; agar ning yo‟nalishi ning yo‟nalishi bilan bir xil bo‟lsa, AB > 0,aks holda AB < 0 bo‟ladi.

-1 0 2 5 8 x₁ 14 15 x₂ 20

D O K A B E C F l

54 – rasm.

tushunarli. kesmaning kattaligi A nuqtaning koodinatasi deyiladi va A(x) ko‟rinishida yoziladi, to‟g‟ri chiziq koordinatalar to’g’ri chizig’i (o’qi) deyiladi.

Sonlar o‟qida har bitta nutaga bitta aniq son mos keladi va aksincha. a, b R sonlari
munosabatlardan bittasi albatta bajariladi: a = b; a>b; a,b.
T a ‟ r if . a > b, a < b munosabatlarga sonly tengsizlik deyiladi. Sonli tengsizliklar quyidagi xossalarga ega:

1. 
   Agar a > b bo’lsa, г holda b < a bo’ladi.
   

2. 
   Agar a > b va b > c bo’lsa, u holda a > c bo’ladi.
   

3. 
   Agar a > b bo’lsa, с R uchun a c>b с bo’ladi.
   
4. 
   Agar a > b bo’lsa, c > 0 uchun ac > bc va > bo’ladi.
   
5. 
   Agar abc va > bo’ladi.
   

a>b va c>d yoki va c tengsizliklar bir xil ma’noli tengsizliklar deyiladi.

6. 
   a>b va c>d bo’lsa, a+c>b+d bo’ladi.
   

7. 
   a>b va c b-d bo’ladi.
   

8. 
   a>0, b>0, c>0, d>0 bo’lib, a>b va c>d bo’lsa, ac>bd bo’ladi.
   

9. 
   a>0, b>0, c>0, d>0 bo’lib, a>b va c bo’ladi.
   
10. 
    a>0, b>0, a n N uchun aⁿⁿ bo’ladi.
    

11. 
    a>0, b>0 uchun a bo’lsa, bo’ladi.
    

a>b va ctengsizliklar qat’iy tengsizliklar, a ≥ b, с ≤ d tengsizliklar esa noqat’iy tengsizliklar deyiladi.

4 – xossani isbotlaymiz:

c>0 va a-b>0 bo‟lgani uchun c(a-b)=ac-ab>0 bo‟ladi. Demak, ac>bc.
Son o‟qida x o‟zgaruvchi turli oraliqlarda joylashgan bo‟lishi mumkin, bu oraliqlar sonli oraliqlar deyiladi. Sonly oraliqlar aniq bir sonly to‟plamni aniqlaydi. Sonly oraliqlar a < x

< b yoki boshqa ko‟rinishdagi tengsizliklarning geometrik talqinidan iborat.

1. 
   – misol. Koordinatalar to‟g‟ri chizig‟ida E(x₁) va F(x₂) nuqtalar orasidagi masofani topamiz.
   

Y e c h i s h. Chizmaga qaraganda (55-rasm) OE+EF+FO=0, bunda EF=-FO-
OE=OF-OE=x₂-x₁ . Demak, = .

2. 
   - misol. Koordinatalar to‟g‟ri chizig‟ida (55-rasm). B(8) nuqtadan 6 birlik uzoqlikda joylashgan nuqtalarni topamiz.
   

Y e c h i s h . Izlanayotgan nuqtaning koordinatasi x bo‟lsin. Uni topamiz.
=6 ⟺ ⟺

J a v o b: K(2), C(14).

3. 
   - m i s o l. Koordinatalar to‟g‟ida ushbu tengsizliklar yechimini tasvirlaymiz: a) ; b) .
   

Y e c h i s h . a) soni N(x) nuqtadan (10-rasm) B(8) nuqtagacha masofaga teng va 6 dan ortiq emas. Shunga ko‟ra: ≤6⟺-6≤ x-8≤6 yoki 2≤ x ≤14. Izlanayotgan nuqtalar to‟plami K(2) va C(14) nuqtalar orasidagi KC kesmadan iborat; b) koordinatalar

to‟g‟ri chizig‟ining kesmadan tashqaridagi qismi javobni beradi: (- )

.

4. 
   – m i s o l. Uchlari A(x₁) , B(x₂) nuqtalarda bo‟lgan AB kesmani AM :
   

MB= nisbatda bo‟luvchi M(x) nuqtani topamiz.
Y e c h i s h. = ⟺ = ⟺ x = . (1)

Agar (1) da λ=1 desak, AB kesma o‟rtasining kordinatasi: x= hosil bo‟ladi.

Shuningdek, (1) fo‟rmulaga λ=m₂: m₁ nisbatda bo‟luvchi nuqta koordinatasini hosil qilish mumkin: x = .

Umuman, massalar mos tartibda nuqtalarga qo‟yilgan bo‟lsa, bu massalar M(x) markazining koordinatasi

x = (2)

bo‟ladi.

5. 
   – misol. 2, 4, 6, 8 ga teng massalar mos tartibda A(2), B(9), C(-6), D(3) nuqtalarga joylashtirilgan. Massalar markazini kopamiz.
   

Yechish. (2) formula bo‟yicha; .

6. 
   – misol. Koordinatalar to‟g‟ri chizig‟ining A, B, C nuqtalariga (4-rasm) tik qo‟yilgan F_1, F_2, F₃ kuchlar teng ta‟sir etuvchisi qo‟yilgan nuqta koordinatasini topamiz.
   

Yechish. Chizmada A(-2), B(3), C(8), F₁= -3, F₂ = -2, F₃ = 4. (4) formula bo‟yicha:
.