O‟zbekiston respublikasi oliy va o‟rta

2.4 - § Algebra va matematika analiz asoslari

1. Ratsional sonlar.
Butun sonlar. Oddi kasrlar. Nol sonini natural sonlar to‟lamiga kiritib, butun manfimas sonlar to’plami deb ataladigan yangi sonly to‟plam xosil qilamiz va bu kengaytirilgan to‟plamni

N₀ = {0, 1, 2, 3, …, n, …} orqali belgilaymiz. Katta sonni kichik sondan atrish mumkin bo‟lishi uchun N₀ sonlar to‟plamini yngi sonlar kiritish yo‟li bilan yanada kengaytirish zarur.

To‟g‟ri chiziqni olib, unda yo‟nalish, 0 boshlang‟ich nuqta va masshtab birligini olamiz (52 - rasm). Boshlang‟ich nuqtaga 0 sonini mos qo‟yamiz. Boshlang‟ich nuqtadan o‟ng tomonda bir, ikki, uch va h.k. masshtab birligi masofada joylahgan nuqtalarga 1, 2, 3, … natural sonlarni mos qo‟yamiz, boshlang‟ich nuqtadan chap tomaonda bir, ikki, uch va h.k. birlik masofada joylashgan nuqtalarga -1, -2, -3, … simvollari bilan belgilanadigan yangi sonlarni mos qo‟yamiz.

O

… -3 -2 -1 0 1 2 3 …

52 – rasm.

Bu sonlar butun manfi sonlar deb ataladi. Sonlar belgilangan bu to‟g‟ri chiziq son o’qi deb ataladi. O‟qning strelka bilan ko‟rsatilgan yo‟nalishi musbat yo’nalish, bunga qarama – qarshi yo‟nalish esa manfi yo’nalish deb ataladi. Natural sonlar son o‟qida boshlang‟ich nuqtadan musbat yo‟nalishda qo‟yiladi, shuning uchun ular musbat butun sonlar deb ataladi.

Butun manfimas sonlar to‟plami bilan butun manfi sonlar to‟plamining birlashmasi va nol yangi sonli to‟plamni xosil qiladi, bu to‟plam butun sonlar to’plami deb ataladi va Z simvoli bilan belgilanadi:

Z = {…,-2,-1,0,1,2,…}.
a va - a sonlar qarama – qarshi sonlar deb ataladi. Son o‟qida busonlarga mos keladigan nuqtalar nolga nisbatan metrik joylashadi (53 - rasm).

-a 0 a

53 - rasm.
O‟lchash natijasi bu sonlarda, o‟nli yoki oddiy kasirlarda ifodalanadi. Agar miqdor qarama – qarshi (o‟sish – kamayish, yuqoriga – quyiga, foyda – zarar, issiq – sovuq va hokazo)

ma‟noga ham ega bo‟lsa, uning qiymatlari oldiga mos ravishda musbatlik (‹‹+››) yoki manfilik (‹‹-››) ishorasi qo‟yiladi: .

ifoda oddiy kasr deb ataladi, bunda .

Agar va kasrlar uchun sharti bajarilsa, u holda bu oddiy kasrlar teng

deyiladi va

= ko‟rinishida yoziladi.

Oddiy kasrlar uchun quyidagi xossalar o‟rinlidir:

1. 
   Har qanday kasr o‟zi – o‟ziga teng: , chunki .
   
2. 
   Agar bo‟lsa, u holda bo‟ladi.
   
3. 
   Agar bo‟lib, , bo‟lsa, u holda bo‟ladi.
   
4. 
   Agar kasrning surat va maxraji songa ko‟paytirilsa yoki bo‟linsa, uning qiymati o‟zgarmaydi, ya‟ni = yoki = bo‟ladi.
   

Ko‟paytmasi birga teng bo‟lgan sonlar o’zaro teskari sonlar deb ataladi. Bular va

ko‟inishdagi sonlardir.

Bir necha kasrni umumi maxrajga keltirish deb, bu kasrlarni qiymatlarini o‟zgartirmasdan
ularni bir xil maxrajga olib kelivchi almashtirishlarga aytiladi. va kasrlarni qo‟shish, ayirish, ko‟paytirish va bo‟lish amallari quyidagi tenglik bilan aniqlanadi: ; ; .

Natural son bilan musbat oddi kasrni yig‟indisini ‹‹+›› ishorasiz yozish qabulqilingan.

Msalan, va hokazo.