O‟zbekiston respublikasi oliy va o‟rta

Tekislikda dekart koordinatalarini almashirish.

Orientatsiya: Bir vektordan ikkinchisiga qisqa burish yo‟nalishi soat strelkasi yo‟nalishiga qarama – qarshi bo‟lsa, bu vektorlar o‟ng ikkilik, aks holda chap ikkilik tashkil qiladi deyiladi. Bazis sifaida biror ikkilik tanlansa, biz orientatsiya tanlab olingan deb hisoblaymiz. Bizga { } va { } ortonormal bazislar berilgan bo‟lsin. Bu bazislar yordamida

kiritilgan Dekart koordinatalar sistemasini mos ravishda Oxy va O'x'y' bilan belgilaylik.
Nuqtaning „„eski‟‟ va „„yangi‟‟ koordinatalari orasidagi bog‟lanishni topamiz. „„Yangi‟‟ koordinatalar sistemasi markazini „„eski‟‟ koordinata sistemasidagi koordinaalarini (a,b) bilan belgilaylik.

18 – chizma.

Tekislikda M nuata berilgan bo‟lib, uning Oxy va O'x'y' sistemalardagi koordinatalari mos ravishda (x,y) va (x',y') juftliklardan iborat bo‟lsin.




Biz quyidagi tengliklarga ega bo‟lamiz:


Har bir vektorni { } bazis orqali ifodalash mumkinligi uchun

(1)

munosabatlarni hosil qilamiz. Bu ifodalarni

tengliklarga qo‟yib

tenglikni hosil qilamiz. Bazis vektorlari { } chiziqli erkli oilani tashkil etganligi uchun yuqoridagi munosabatdan

(2)



formulalarni olamiz. Endi koeffitsientlarni toppish uchun ikkita holni
qaraymiz.Birinchi hol: { } va { } bazislar bir xil orientatsiyaga ega. Bu holda agar bilan va vektorlar orasidagi burchakni belgilasak, va vektorlar orasidagi burchak ham ga

teng bo‟ladi. Yuqoridagi (1) tenglikni har ikkalasini va vektorlarga skalyar ko‟paytirib,



formulalarni olamiz. Agar { } va { } bazislar har xil orientatsiyaga ega bo‟lsa, va vektorlar orasidagi burchak ga teng bo‟ladi. Bu holda (1) tengliklarning har birini va vektorlarga skalyar ko‟paytirib

formulalarni hosil qilamiz. Bu formulalarni (2) formulalarga qo‟yib, mos ravishda quyidagi ikkita formulalarni olamiz:
(3)

Bu holda o‟tish determinant uchun

tenglik o‟rinli.

Ikkinchi holda bazislarning orientatsiyalari har xil va koordinatalarni almashtirish formulalari


(4)

ko‟rinishda bo‟ladi.

Bu holda o‟tish determinant uchun



tenglik o‟rinli bo‟ladi. Demak, koordinatalar sistemasini almashtirganimizda o‟tish matritsasining determinant musbat bo‟lsa, orientatsiya o‟zgarmaydi. Agar o‟tish matritsasining determinant manfi bo‟lsa, orientatsiya qarama – qarshi orientatsiyaga o‟zgaradi.

2.