O’zbekiston Respublikasi xalq ta’lim vazirligi

Ostrogradskiy- Gauss teoremasi.

1. 
   Zaryadning sirt chizig’i
   
2. 
   Elektr zaryadlarning hajm bo’yiga taqsimlanishi
   
3. 
   Ostragradskiy- Gauss teoremasi.
   
4. 
   Zaryadlangan yassi cheksiz tekislikning elekrt maydoni.
   
5. 
   Zaryadlangan selindrning elekrt maydoni.
   
6. 
   Zaryadlangan sfera-sharining elektr maydoni.
   

1. 
   Jismga elektr zaryad berilganda yuzi birligiga to’g’ri kelgan elektr miqdori bilan o’lchanadigan kattalik zaryadning sirt zichligi deyiladi va δ orqali belgilanadi.
   

S yuzada q zaryad tekis taqsimlansa,
Zaryad sirt bo’yibcha tekis taqsimlanmagan holda sirtni juda mayda elementlarga bo’lib chiqaylik. U vaqtda har bir yuza elementlarda elektr zaryadni tekis taqsimlangan deb qarash mumkin. Bu yerda yuza elementi ΔS ga Δq elektr zaryad to’g’ri kelsa,zaryadning o’rtacha sirt zichligi:
cheksiz kichraib borayotgan ikki kattaliklar nisbatining limeti nuqtadagi zaryad sirt zichligini ifodalaydi:

2. Jismning (V) xajm birligiga to’g’ri kelgan elektr zaryad (q) miqdori bilan o’lchanadigan kattalik elektr zaryadning hajmiy zichligi deyiladi va ρ orqali belgilanaldi. Yuqoridagi mulohazalaridan foydalanib quyidagini yozamiz va
η- zaryadning chiziqli zichligi dV va dl mos ravishda olingan hajm va uzunlik elementlari.
3. Hususiy xolda q zaryadni o’rab olgan yopiq sirt orqali o’tuvchi maydon kuchlanganlik oqimini qarab chiqamiz. Buning uchun q nuqtaviy zaryadni radiusi r bo’lgan sfera markazga o’rnatsak, sferaning hamma yerda maydon kuchlanganligi bo’ladi va radial yonalishda bo’lib, nuqta q zaryaddan tarqalgan kunlanganlik kuch chiziqlarining uni o’rab olgan yuzadan o’tayotgan qiymati kuchlanganlik orqali ifodalanadi. Yopiq kontur ichida olingan zaryadlarning elekrt maydon kuchlanganlik, oqimi kontur shakliga bo’g’liq bo’lmay, zaryadlarning algebraic yig’indisiga teng.

Bu tenglama integrallanganda =

Muhit uchun esa bo’ladi.
Agar yopiq sirt ichida bir necha q₁ q₂ q₃ … nuqtaviy zaryadlar bo’lsa, u vaqtda xar bir zaryad uchun kuchlanganlik oqimi bo’lib,to’la oqim esa yoki
Bu ifodada q-zaryadlarning algebraic yig’indisi. Bu natija har qanday zaryad va zaryadlar sistemasi uchun to’g’ridir.
Agar yopiq sirt ichidagi zaryadlarning algebraic yig’indisi musbat bo’lsa, bu vaqtda kuchlanganlik oqimi tashqariga yonalgan bo’lib, musbat ishora agar manfiy bo’lsa kuchlanganlik oqimi ichkariga yonalgan bo’lib manfiy ishora bilan olinadi.
Ostragradskiy-Gauss teorimasi tadbiqi.
4. Teoremadan foydalanib zaryadsirt zichligi δ-bilan zaryadlangan yassi tekislik atrofidagi elektr maydon kuchlanganligini hisoblaymiz.
Bunday tekislikning hamma joyida zaryad sirt zichligi bir hil qiymatga ega bo’lib, kuch chiziqlari shu tekislikka tik va ikki qarama-qarshi tomonga chiqqan bo’ladi. (1-rasm)

A va B nuqtalar o’rtasidagi maydon kuchlanganligi hisoblash uchun shu nuqtalarda o’tgan kuch chiziqlarga tik olingan ΔS yuzani olamiz, natijada A va B nuqtalar orasida ΔS yuzali silindir hosil bo’ladi ΔSyuzalar kuch chiziqlariga tik bo’lgani uchun har ikki tomonda ham oqimlar musbat bo’lin, ummuyi oqim:
N_E= N₁+ N₂=E^.2ΔS (1.)
Ostragradskiy-Gauss teorimasidan maydon kuchlanganligi oqimi uchun
(2.)

1. 
   va (2.) ni taqqoslab (3.) ni topamiz.
   

Demak, zaryadlangan tekislik elektr mayhdon kuchlanganligi o’ng va chap tomonlarda bir hil bo’lib, A va B nuqtalarning uzoqligiga bog’liq bo’lmay, faqat zaryadning sirt zichligiga .bo’g’liq.
Tekisliklardan tashqariga o’ng va chap tomonlarda kuch chiziqlari qarama qarshi yonalishda bo’lsa

( - rasm)

Demak, qarama-qarshi ishorali zaryadlangan ikki tekislik atrofida elektr maydon bo’lmaydi Uzunligi l, ko’ndalang kesimi r- radiusli selindr olamiz, uning tubi va usti orqali o’tadigan kuchlanganlik oqimi 0 ga teng bo’ladi, chunki vector tub va ust normaliga tik, sirtdan o’tadigan kuchlanganlik oqimi

bo’ladi.
Zaryadlangan silindirning l-uzunlikdagi yon sirtida q=2πRlδ elektr zaryad miqdori bor bunda R-zaryadlangan silindr radiusi Ostragradskiy-Gauss teorimasiga asosan kuchlanganlik oqimi

Demak shartga muvofiq zaryadlankgan silindrning elektr maydon kuchlanganligi shu silindr o’qidan berilgan nuqtagacha bo’lgan oraliq r-ga teskari proporsional ekan.

5. 
   Agar sharning sirtida q zaryad tekis taqsimlangan bo’lsa, zaryadning sirtidagi δ- bo’ganda q=4πR²δ; R- shar radiusi.
   

Endi shu sharni radiusi r bo’gan ikkinchi komsintrik shar sirti bilan oraylik bu vaqtda shu sitr orqali o’tgan maydon kuchlanganligi oqimi: N_E=
bo’ladi - o’zaro parallel.

Ikkinchi tomondan Ostragradskiy-Gauss teorimasiga ko’ra kuchlanganlik oqimi Bu formula zaryadlangan sharning markazidan r- masofada o’tgan maydon kuchlanganligini beradi zaryadlangan shar sirti ichida (R>r^1) radiusli sfera ichida zaryad bo’lmagani uchun kuchlanganlik oqimi Ostragradskiy-Gauss teorimasiga asosan nolga teng bo’ladi