I L l bob. Alg ebr a ik sist em a L a r

Yarim gruppa va gruppa haqida tushuncha. Aytaylik bizga, 
АФ0
to‘plam va binar * algebraik operatsiya berilgan boMsin.
1-ta’rif. Bo‘sh boMmagan A to ‘plamda * algebraik operatsiya 
assotsiativ boMsa, algebra yarim grappa deyiladi.
2-ta’rif. B o4sh bo4lmagan A 
to 4plamda quyidagi xossalar 
o4rinli bo4Isa, algebra gruppa deyiladi:
a) A to'plam ning ixtiyoriy a,b ,c eiementlari uchun a*(b*c) = 
=(a*b)*c munosabat o4rinli bo4Isa, y a’ni binar * algebraik 
operatsiya assotsiativ bo4 Isa;
b) A to4plamning ixtiyoriy 
a
elementi uchun shunday е е A 
element mavjud bo4lib, u д*е=е*а=я shartni qanoatlantirsa, y a’ni 
A to 4plamda neytral element mavjud bo 4 Isa;
c) A to 4plamning ixtiyoriy 
a
elementi uchun shunday а
element mavjud bo4lib, u quyidagi 
a * a = a * a = e
shartni 
qanoatlantirsa, ya’ni A to 4plamning har bir elementiga simmetrik 
element mavjud bo4 Isa.
T a’rifdan ko4rinadiki, algebra gruppa bo4lishi uchun
* algebraik operatsiya bo4lib, u assotsiativ bo4 lishi hamda A 
to4plamda e neytral, 
a
simmetrik elementlar mavjud boMishi 
kerak ekan.
Kommutativ Abel gruppasi.
3-ta’rif. Agar A to4plamda berilgan * algebraik operatsiya 
kommutativ boMsa, ya’ni ixtiyoriy a,be.A uchun a*b=b*a o4rinli 
bo4Isa, gruppa * binar algebraik operatsiyaga nisbatan 
kommutativ gruppa deyiladi. Kommutativ gruppa ba’zi hollarda 
Abel gruppasi deb ham ataladi.
1-misol. Binar «*» algebraik operatsiyani «+» qo4shish amali 
bilan almashtiraylik. A to 4plamda + amali gruppa hosil qiladi:
104

---

a) 
V
я,Ь ,с,еА uchun (я+Ь)+с=а+(Ь+с) bajariladi, ya’ni 
qo‘shish amali assotsiativ;
b) V 
a e
A uchun shunday e=0 neytral element mavjud, 
a+0=0+a=a;
d) 
A to4plamning ixtiyoriy 
a
elementi uchun 
a+(-a)=
0 shartni 
qanoatlantiruvchi simmetrik (-
a
) element mavjud.
M a’lumki, qo‘shish amali kommutativdir, shuning uchun 
algebra kommutativ, ya’ni Abel gruppasidir.