Учебное пособие по курсу «Интеллектуальные системы управления»

1
(x)
µ
2
(x) 
Рис. 1.7 

 
14 
измерений (первичный или производный) и тип шкалы [11], в которой по-
лучают  информацию  от  эксперта  и  которая  определяет  допустимый  вид 
операций,  применяемых  к  экспертной  информации [18]. С  другой  сторо-
ны, имеется два типа свойств: те, которые можно непосредственно изме-
рить, и те, которые являются качественными и требуют попарного сравне-
ния объектов, обладающих рассматриваемыми свойствами, чтобы опреде-
лить  их  относительное  место  по  отношению  к  рассматриваемому  поня-
тию.  Таким  образом,  построение  функции  принадлежности  выполняется 
по экспертным оценкам. При этом можно выделить две группы методов – 
прямые и косвенные. 
Прямые методы определяются тем, что эксперт непосредственно за-
дает правила определения значений функции принадлежности. Целесооб-
разность прямых методов обосновывается в [16]: "По своей природе оцен-
ка  является  приближением.  Во  многих  случаях  достаточна  весьма  при-
ближенная  характеризация  набора  данных,  поскольку  в  большинстве  ос-
новных задач, решаемых человеком, не требуется высокая точность. Чело-
веческий  мозг  использует  допустимость  такой  неточности,  кодируя  ин-
формацию, достаточную для задачи (или достаточную для решения), эле-
ментами нечетких множеств, которые приближенно описывают исходные 
данные.  Поток  информации,  поступающий  в  мозг  через  органы  зрения, 
слуха,  осязания  и  др.,  суживается  таким  образом  в  тонкую  струйку  ин-
формации, необходимой для решения поставленной задачи с минимальной 
степенью точности". 
В  косвенных  методах  значения  функции  принадлежности  выбира-
ются таким образом, чтобы удовлетворить заранее сформулированным ус-
ловиям. Экспертная информация является только исходной информацией 
для  дальнейшей  обработки.  Дополнительные  условия  могут  налагаться 
как на вид получаемой информации, так и на процедуру обработки. 
Как  правило,  прямые  методы  используются  для  описания  понятий, 
которые  характеризуются  измеряемыми  параметрами.  Однако  следует 
помнить  о  возможных  субъективных  искажениях,  и  поэтому  прямые  ме-
тоды должны использоваться только в том случае, когда такие ошибки не-
значительны или маловероятны. 
  
Косвенные  методы  более  трудоемкие,  но  они  менее  чувствительны 
относительно  искажений  в  ответах.  И,  наконец,  последнее  замечание. 

 
15
Функция  принадлежности  может  отражать  мнение  одного  (уникального) 
эксперта  или  же  мнение  группы  экспертов,  следовательно,  круг  методов 
может быть расширен, так как возможны прямые и косвенные методы для 
одного эксперта, прямые и косвенные – для группы экспертов. Подробная клас-
сификация методов построения функций принадлежности приведена в [16]. 
Требования к функциям принадлежности 
Пусть 
{ }
I
,
1
i,
T
i
=
τ
=
 – базовое  множество  лингвистической  пере-
менной; 
i
a  – соответствующая ему нечеткая переменная; S
i
 – носитель не-
четкого множества 
( )
{
}
x
x
X
X
i
µ
=
. Договоримся о естественной упорядо-
ченности  множества  Т,  при  которой  терм,  имеющий  носитель,  располо-
женный левее на числовой оси, имеет меньший номер. 
Тогда  относительно  функции  принадлежности  можно  выдвинуть 
следующие условия. 
1.
 
Функция принадлежности должна быть положительной, т.е.  
( )
)
0
x
,
I
,
1
i,
S
x
(
i
X
i
≥
µ
=
∈
∀
. 
2.
 
Если  это  не  оговаривается  дополнительно,  функция  принадлеж-
ности должна быть нормальной 
( )
1
x
Sup
i
X
=
µ
                 (1.2) 
Если  условие  нормальности  при-
нято,  то  запрещается  использование 
функций  принадлежности,  не  удовле-
творяющих  условию (1.2) (рис.1.8). 
Следует отметить, что это условие отно-
сится  к  исходным  функциям  принад-
лежности,  так  как  при  выполнении  раз-
личных операций над функциями принадлежности условие 2 может быть 
нарушено.  Функция  принадлежности 3 относится  к  запрещенным  (рис. 
1.8). 
3.
 
В  базовом  множестве  термов  Т  запрещается  использование  пар 
термов,  представленных  на  рисунке (1.9, а,  б).  В  первом  случае 
отсутствует (см. рис. 1.9, а) естественная разграничиваемость по-
Рис 1.8 

 
16 
нятий,  представленных  соседними  термами 
1
i
i
u
+
τ
τ
,  во  втором 
(см. рис. 1.9, б) – участку [c, d] из  области  определения  не  по-
ставлено в соответствие какое-либо понятие.  
 
 
4.
 
Термы  с  минимальными  и  максимальными  номерами  не  могут 
соответствовать  колоколообразным  функциям  принадлежности. 
Для  этих  термов  функции  принадлежности  имеют S-образный 
вид (рис. 1.10). 
 
 
5.
 
Функция принадлежности может задаваться на непрерывном или 
дискретном носителе. 
В  практике  нечеткого  управления  наиболее  часто  используются 
прямые методы построения функций управления. 
Описание более сложных методов можно найти в работе [26]. 
Рис. 1.9
Рис. 1.10

 
17
1.4. Прямые методы одного эксперта 
Прямые методы для одного (уникального) эксперта состоят в непо-
средственном назначении степени принадлежности для исследуемых объ-
ектов  или  непосредственном  назначении  функции  (правила),  позволяю-
щей вычислить ее значения. 
Использование типовых функций принадлежности 
  
К  настоящему  времени  накоплен  достаточно  широкий  набор  раз-
личных  вариантов  функций  принадлежности  для  самых  разнообразных 
нечетких утверждений [19, 20] (см. таблицу). Безусловно, выбор функции 
принадлежности  и  их  параметров  определяется  в  большой  степени  опы-
том, интуицией и другими субъективными факторами лица, принимающе-
го  решения.  Именно  здесь  возникают  новые,  связанные  с  неоднозначно-
стью и другого рода нечеткостью неопределенности, которые носят субъ-
ективный  характер.  Тем  не  менее,  имея  некоторый  набор  типовых  функ-
ций  принадлежности,  можно  подобрать  ту,  которая  будет  в  достаточной 
мере отвечать представлениям лица, её выбирающего. Существенным яв-
ляется то, что для этих функций заранее известны их аналитические пред-
ставления,  что  позволяет  вычислить  их  значения  в  любой  точке  области 
определения. В то же время определенные трудности возникают  при вы-
числении параметров аналитического представления функции принадлеж-
ности, соответствующих конкретным лингвистическим значениям. 
Для  вычисления  параметров  функции  принадлежности  при  извест-
ном  аналитическом  представлении  в [7] предложен  достаточно  сложный 
метод  расчета,  отдельные  моменты  которого  представляются  слишком 
формальными  и  даны  без  достаточных  обоснований.  Хотя  этот  метод  и 
позволяет  получить  результат,  вопрос:  почему  надо  действовать  именно 
так? – на наш взгляд, остается без должного ответа.  

 
18 
График 
Формула 
Функции степеней принадлежности утверждения «величина x малая» 
 
( )



>
≤
≤
=
a
, x
a
x
, 
x
0
,
0
1
µ
 
 
0
;
)
(
µ
kx
>
=
−
k
e
x
 
 
0
;
)
(
µ
2
kx
>
=
−
k
e
x
 
 





<
≤
≤
−
−
≤
≤
=
x
a
a
x
a
a
a
x
a
a
x
x
2
 ,
0
,
2
1
 ,
1
2
2
,
1
0
 ,
1
)
(
µ
 
 



≤
≤
−
=
k
k
k
1
 ,
0
,
1
0
 ,
1
)
(
µ
a
a
x
ax
x
 
 
(
)
1
 ;
 
1
1
)
(
µ
2
>
+
=
k
kx
x
 
 
(
)
[
]
(
)
{
}






≤
≤
≤
−
+
⋅
−
≤
≤
=
x
b
 ,
0
,
,
/
2
/
b
a
-
x
π
sin
5
.
0
5
.
0
,
0
 ,
1
)
(
µ
b
x
a
a
b
a
x
x

 
19
П р о д о л ж е н и е   т а б л и ц ы
График 
Формула 
Функции степеней принадлежности утверждения «величина x большая»
 



>
≤
≤
=
a
, x
a
x
, 
x
1
,
0
0
)
µ(
 
 
(
)



>
≤
−
≤
≤
=
−
−
0
,
α
 ,
1
,
α
0
 ,
0
)
(
µ
α
k
x
e
x
x
x
k
 
 
(
)



>
≤
−
≤
≤
=
−
−
0
,
α
 ,
1
,
α
0
 ,
0
)
(
µ
2
α
x
k
k
x
e
x
x
 
 
(
) (
)





<
≤
≤
−
−
≤
≤
=
x
x
x
x
x
2
α
 ,
1
,
2
α
1
α
 ,
1
α
2
α
/
1
α
,
1
α
0
 ,
0
)
(
µ
 
 
(
)





≤
+
+
≤
≤
−
≤
≤
=
x
a
a
x
x
a
x
x
k
k
k
1
α
 ,
1
,
1
α
α
 ,
α
,
1
α
0
 ,
0
)
(
µ
 
 
(
)




∞
≤
≤
−
+
−
≤
≤
=
x
α
 ,
α
1
α)
(
α,
0
 ,
0
)
(
µ
2
x
k
x
k
x
x
 
 
(
)
[
]
(
)
{
}






≤
≤
≤
−
+
⋅
+
≤
≤
=
x
a
 ,
1
,
/
2
/
b
a
-
x
π
sin
5
.
0
5
.
0
,
0
 ,
0
)
µ(
b
x
a
a
b
a
x
x

 
20 
П р о д о л ж е н и е   т а б л и ц ы  
График 
Формула 
Функции степеней принадлежности утверждения «величина |x| малая» 
 





∞
<
<
≤
≤
−
<
<
∞
−
=
x
a
 ,
0
,
a
- 
,
1
,
 ,
0
)
µ(
a
x
a
x
x
 
 



>
∞
<
≤
≤
<
∞
=
−
1
,
0
 ,
,
0
- 
,
)
(
µ
kx
kx
k
x
e
x
e
x
 
 
2
kx
)
(
µ
−
= e
x
 
 
(
) (
)
(
) (
)








∞
<
≤
≤
≤
−
−
≤
≤
−
−
≤
≤
−
−
+
−
≤
≤
∞
−
=
x
a
a
x
a
a
a
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
x
2
 ,
0
,
2
1
 ,
1
2
/
2
,
1
1
 ,
1
,
1
2
 ,
1
2
a
/
2
,
2
 ,
0
)
(
µ
 
 







∞
≤
≤
≤
≤
−
≤
≤
−
−
−
−
≤
<
∞
−
=
x
a
a
x
x
a
x
a
x
a
a
x
x
k
k
k
k
k
k
1
 ,
0
,
1
0
 ,
)
(
1
,
0
1
 ,
)
(
1
,
1
 ,
0
)
(
µ
 
 
(
)
1
 ;
1
1
)
(
µ
2
>
+
=
k
kx
x
 
 
(
)
[
]
(
)
{
}
(
)
[
]
(
)
{
}









∞
<
≤
≤
≤
−
+
−
⋅
−
≤
≤
−
−
≤
≤
−
−
+
+
⋅
+
−
≤
<
∞
−
=
x
 ,
0
,
 
,
/
2
/
x
π
sin
5
.
0
5
.
0
,
 ,
1
,
,
/
2
/
x
π
sin
5
.
0
5
.
0
,
 ,
0
)
µ(
b
b
x
a
a
b
b
a
a
x
a
a
x
b
a
b
b
a
b
x
x
 

 
21
О к о н ч а н и е   т а б л и ц ы  
График 
Формула 
Функции степеней принадлежности утверждения «величина |x| большая»
 





∞
<
≤
≤
≤
−
−
≤
≤
∞
−
=
x
, a
a
x
a
, 
a
x
, 
x
1
,
0
,
1
)
µ(
 
 



>
∞
<
≤
−
≤
<
∞
−
−
=
−
1
,
0
 ,
1
,
0
 ,
1
)
(
µ
kx
kx
k
x
e
x
e
x
 
 
1
 ,
1
)
(
µ
2
kx
-
>
−
=
k
e
x
 
 
(
) (
)
(
) (
)








∞
<
≤
≤
≤
−
−
≤
<
−
−
≤
≤
−
−
+
−
−
≤
<
∞
−
=
x
a
a
x
a
a
a
a
x
a
x
a
a
x
a
a
a
x
a
a
x
x
2
 ,
1
,
2
1
 ,
1
2
/
1
,
1
1
 ,
0
,
1
2
 ,
1
2
/
1
,
2
 ,
1
)
(
µ
 
( )
( )







∞
<
≤
≤
≤
≤
≤
−
−
−
≤
<
∞
−
=
x
a
a
x
x
a
x
a
x
a
a
x
x
k
k
k
k
k
k
1
 ,
1
,
1
0
 ,
,
0
1
 ,
,
1
 ,
1
)
(
µ
 
 
(
)
1
 ;
 
1
)
(
µ
2
2
>
+
=
k
kx
kx
x
 
 
(
)
[
] (
)
{
}
(
)
[
] (
)
{
}









∞
<
≤
≤
≤
−
+
−
⋅
+
≤
≤
−
−
≤
≤
−
−
+
+
⋅
−
−
≤
<
∞
−
=
x
 ,
1
,
 
,
/
2
/
x
π
sin
5
.
0
5
.
0
,
 ,
0
,
,
/
2
/
x
π
sin
5
.
0
5
.
0
,
 ,
1
)
µ(
b
b
x
a
a
b
b
a
a
x
a
a
x
b
a
b
b
a
b
x
x

 
22 
Рис. 1.11 
Можно  предложить  более  простую  методику,  которая  вытекает  из 
рассмотрения функций принадлежности, приведенных в таблице. 
Все функции могут быть разбиты на два класса: 
- с конечным носителем, т.е. когда точно можно указать элемент х, 
при котором 
( )
;
0
x
X
=
µ
 
- с бесконечным носителем, для которых  
 
( )
0
x
lim
X
x
=
µ
∞
→
.  
В  первом  случае  эксперт  или  лицо,  принимающее  решение,  одно-
значно определяет носитель нечеткого множества или базовое множество, 
соответствующее определенному лингвистическому значению.  
Во  втором  случае  эксперт  должен  ответить  на  вопрос  типа:  Какое 
минимальное значение должна иметь функция принадлежности, чтобы не 
считать элемент «х» принадлежащим  данному множеству? Ответ  на этот 
вопрос в дальнейшем определит параметры функции принадлежности.  
Затем  необходимо  указать  координаты  плато  функции  принадлеж-
ности (c, d) (рис. 1.11).  
Для многих аналитических 
представлений (см. таблицу этих 
параметров  достаточно  для  рас-
чета  значений  функций  принад-
лежности в любой точке. Однако 
для  экспоненциальных,  парабо-
лических  и  гиперболических 
форм  представления  функций 
принадлежности  этого  оказыва-
ется  недостаточно.  Тогда  экс-
перту  можно  предложить  следующий  вопрос:  Для  какого  значения  х  его 
принадлежность  нечеткому  множеству  оценивается  равной 0,5? Пусть 
эксперт выбрал функцию принадлежности вида 
( )
2
kx
X
e
x
−
=
µ
.  
Тогда при 
5
.
0
x
x
=
,
 
( )
5
.
0
x
X
=
µ
, соответственно 
(
)
2
5
.
0
x
5
.
0
ln
k
−
=
.
 
Если при ответе на предыдущий вопрос эксперт указал для функции 
принадлежности допустимое значение погрешности 
1
ε
, с которой опреде-

 
23
ляется указанное значение, то носитель нечеткого множества будет опре-
деляться из соотношения 
(
)
.
x
ln0.5
lnε
x
2
0.5
1
н
±
=
 
И наконец, может быть использована методика, предложенная в [5], 
которая  основана  на  анализе  двух  соседних  лингвистических  значений. 
Пусть  рассматриваются  два  лингвистических  значения j-1, j и  соответст-
вующие термы (рис. 1.12). Определяются носители (а
j-1
, b
j-1
), (a 
j
, b
j
), плато 
(c
j-1
, d
j-1
), (c
j
, d
j
). Для построения нисходящей (для терма j-1) и восходящей 
(для терма j) ветвей эксперта просят указать точку, относительно которой 
он  испытывает  наибольшие  трудности  при  соотнесении  ее  с  термом j-1 
или j. Нетрудно  видеть,  что  в  этой  точке 
( )
5
.
0
x
X
=
µ
  для  обоих  термов. 
Дальнейшие расчеты трудностей не представляют. 
Достаточно 
часто 
встречается  задача  построе-
ния  функции  принадлежно-
сти,  соответствующей  неко-
торому  произвольному  значе-
нию.  Для  этой  цели  удобно 
использовать  представление 
функций  принадлежности  в 
виде  стандартных S-образных  функций.  Не  обсуждая  варианты  аналити-
ческого  представления  этих  функций,  покажем  чисто  качественно  воз-
можность  их  использования. S-образную  функцию  можно  определить 
тремя точками (l, m, r) (рис. 1.13).  
При х=l  S(x)=0, при x = m   S(x) = 0.5, при x = r   S(x) = 1.  
Таким образом, S(x) = S(x, l, m, n).  
Функция  вида 1 - S(x) представлена  на  рис. 1.14. Нетрудно  видеть, 
что, комбинируя эти две функции, можно построить функции принадлеж-
ности, удовлетворяющие ранее сформулированным условиям. 
Рис. 1.12 

 
24 
Пусть определены функции S(x
1
) и S(x
2)
, соответствующие исходно-
му базовому множеству термов 
{ }
I
,
1
i,
T
i
=
τ
=
. 
 
Если  произвольное  значение
[
]
2
1
x
,
x
x
∈
′
,  то  можно  предположить, 
что 
[
]
2
1
m
,
m
m
∈
′
.  
Положив, что справедливо равенство  
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1
2
1
x
x
x
x
m
m
m
m
−
′
−
′
=
−
′
−
′
  
и, обозначая через 
(
)
(
)
[ ]
,
0,1
λ
 ,
x
x
x
x
λ
2
'
1
'
∈
−
−
=
 получим  
(
)
.
m
λ
1
λm
m
2
1
−
+
=
′
 
Последнее  соотношение  позволяет  при  непрерывном  носителе  рас-
считывать  значения  функции  принадлежности  для  произвольного  значе-
ния  лингвистической  переменной,  не  включенного  в  исходное  базовое 
множество.  
  
Рассмотренные  выше  примеры,  естественно,  не  исчерпывают  всего 
множества прямых методов построения функций принадлежности для од-
ного эксперта. Целый ряд других методов этого класса рассмотрен в [26], 
там же рассматриваются и прямые методы для нескольких экспертов.